Giải tích 12 Bài 3: Ứng dụng của tích phân trong hình học

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 9 hỏi đáp

Trong quá trình học tập môn Toán trong chương trình phổ thông, các em đã khá quen thuộc với các phương pháp tính diện tích và thể tích của một đối tượng bằng cách xác định các yếu tố liên quan đến đối tượng như độ dài cạnh, số đo góc,....Sau khi tìm hiểu khái niệm Tích phân các em sẽ được tiếp cận một phương pháp mới để tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối tròn xoay chỉ thông qua các hàm số là Ứng dụng tích phân.

Tóm tắt lý thuyết

1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

  • Nếu hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([a;b]\) thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} .\)

  • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}\)

2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể

Thể tích vật thể B giới hạn bởi  hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm \(a,b\) là \(V = \int\limits_a^b {S(x)dx}.\) Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là \(x \in \left[ {a;\,b} \right]\) và S(x) là một hàm liên tục.

3. Ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay

  • Hàm số  \(y=f(x)\) liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} .\) 

  • Cho hai hàm số  \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) thỏa \(0\leq g(x)\leq f(x)\), liên tục và không âm trên \([a,b].\) Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và hai đường thẳng \(x=a,x=b\) quay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
  • Cho hai hàm số hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  \(y=f(x)\) và \(y=g(x)\)​ quay quanh trục hoành hoành tạo nên một khối tròn xoay. Để tính được thể tích khối tròn xoay ta thực hiện các bước:
    • Giải phương trình \(f(x) = g(x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = a\\ x = b \end{array} \right.\) (Thường dạng bài này đề bài cho phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt).
    • Giải sử \(0\leq g(x)\leq f(x)\) với mọi x thuộc \([a,b].\) Khi đó: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \right]dx}.\)
  • Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y = c,\,y = d\) quay quanh trục tung tạo nên một khối tròn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức \(V = \pi \int\limits_c^d {{g^2}(y)dy}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tính diện tích tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong \(y = {x^3},\) trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong \(y = {x^3}\) và trục hoành: 

Diện tích hình phẳng cần tính:

\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^3}} \right|dx + \int\limits_0^2 {\left| {{x^3}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - {x^3}} \right)} dx + \int\limits_0^2 {{x^3}dx} }\) \(= \left. { - \frac{{{x^4}}}{4}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\frac{{{x^4}}}{4}} \right|_0^2 = \frac{{17}}{4}\)

Ví dụ 2: 

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \left( {e + 1} \right)x\) và \(y=(1+e^x)x.\)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong là:\(\left( {e + 1} \right)x = \left( {1 + {e^x}} \right)x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {{e^x} = e} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) 

Nhận xét, với \(x \in \left[ {0;1} \right]\) thì hiệu số \(\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x = x\left( {{e^x} - e} \right) > 0.\) 

Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là \(S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {1 + {e^x}} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{e^x} - e} \right)} \right|dx = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - e} \right)} dx}\) 

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = \left( {e - {e^x}} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = ex - {e^x}} \end{array}} \right.} \right.\)

\({ \Rightarrow S = x\left( {ex - {e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}} \right)dx} }\) \(= \left( { - \frac{{e{x^2}}}{2} + {e^x}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{e - 2}}{2}.\)

Ví dụ 3: 

Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\) , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}}.\)

Lời giải:

Diện tích của hình chữ nhật có hai cạnh là \(x;2\sqrt {9 - {x^2}}\) là \(2x\sqrt {9 - {x^2}}\) 

Khi đó, thể tích của vật thể được xác định bằng công thức \(V = \int\limits_0^3 {2x\sqrt {9 - {x^2}} dx}\) 

Đặt \(t = \sqrt {9 - {x^2}} \Leftrightarrow {t^2} = 9 - {x^2} \Leftrightarrow xdx = - tdt\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0 \Rightarrow t = 3}\\ {x = 3 \Rightarrow t = 0} \end{array}} \right.\) 

Suy ra \(V = - 2\int\limits_3^0 {{t^2}dt} = \frac{{2{t^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 0 \end{array}} \right. = 18.\) 

Ví dụ 4:

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và \(y = x\) quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và đường thẳng \(y=x\) là \(2x - {x^2} = x \Leftrightarrow {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 1} \end{array}} \right.\) 

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tìm là \(V = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{{\left( {2x - {x^2}} \right)}^2} - {x^2}} \right|dx} = \pi \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right|dx}\)

\(\Rightarrow V = \left| {\pi \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 4{x^3} + 3{x^2}} \right)dx} } \right| = \pi \left| {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^4} + {x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right.} \right| = \frac{\pi }{5}.\)

-- Mod Toán Học 12 HỌC247