Bài 3: Phương trình đường thẳng trong không gian - Hình học 12

10 trắc nghiệm 10 bài tập SGK

Trong không gian phương trình đường phẳng được biểu diễn ở hai dạng chính là phương trình tham số phương trình chính tắc. Nội dung bài học sẽ giúp các em biết cách xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng và viết được phương trình trong các trường hợp phổ biến. Bên cạnh đó bài học còn giới thiệu cách tính khoảng cách, góc, xác định vị trí tương đối trong không gian có liên quan đến đường thẳng.

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình tham số của đường thẳng

a) Phương trình tham số của đường thẳng

Trong không gian, đường thẳng \(\Delta\) đi qua \(M(x_0,y_0,z_0)\) và nhận vectơ \(\vec u=(a,;b;c)\) làm Vectơ chỉ phương (VTCP) có phương trình tham số là: 

\(\Delta: \left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end {matrix}\right.(t\in\mathbb{R})\) (t được gọi là tham số).

Nếu \(a,b,c \ne 0\) thì ta có phương trình \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}=t\).

Hay \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta\).

b) Một số cách xác định Vectơ chỉ phương của đường thẳng

  • Nếu \(\Delta _1 //\Delta 2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\) thì \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\).
  • Nếu \(\Delta _1\perp \Delta _2\), \(\overrightarrow{u_1}\) là 1 VTCP của \(\Delta _1\), \(\overrightarrow{u_2}\) là 1 VTCP của \(\Delta _2\) thì \(\overrightarrow{u_1}.\overrightarrow{u_2}=0.\)
  • Nếu đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \(\vec u\), tồn tại hai vectơ \(\vec u_1\) và \(\vec u_2\) sao cho \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_1}\\ \overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{u_2} \end{matrix}\right.\) thì \(\overrightarrow{u}=\left [ \overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2} \right ]\) là một VTCP của \(\Delta\).
  • Cho đường thẳng \(\Delta\) và mặt phẳng (P) sao cho: \(\bigg \lbrack \begin{matrix} \Delta \subset (P)\\ \Delta // (P) \end{matrix}\). Gọi \(\overrightarrow{u}\) là một VTCP \(\Delta\), \(\overrightarrow{n_P}\) là VTPT của (P) thì \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_P}=0.\)
  • Nếu \(A,B\in \Delta\) thì \(\overrightarrow{AB}\) là một VTCP của \(\Delta\).

2. Vị trí tương đối giữa các đường thẳng

Trong không gian cho hai đường thẳng:  \(\Delta _1\) đi qua M1 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 và có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\).

Khi đó Vị trí tương đối giữa \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) được xác định như sau:

  • \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) chéo nhau \(\Leftrightarrow \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}\neq 0\).
  • \(\Delta _1\) và \(\Delta _2\) cắt nhau \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \left [ \overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2} \right ]. \overrightarrow{M_1.M_2}= 0\\ \overrightarrow{u_1}\neq k. \overrightarrow{u_2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\).
  • \(\Delta _1\) // \(\Delta _2\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\notin \Delta _2 \end{matrix}\right.\).
  • \(\Delta _1\equiv \Delta _2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{u_1}=k.\overrightarrow{u_2}\\ M_1\in \Delta _1, M_1\in \Delta _2 \end{matrix}\right.\).

3. Góc giữa hai đường thẳng

  • Trong không gian cho hai đường thẳng \(\Delta _1\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}=(a_1;b_1;c_1)\), \(\Delta _2\) có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}=(a_2;b_2;c_2)\)​, khi đó:

\(cos(\Delta _1;\Delta _2)=\left | cos(\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}) \right |=\frac{\left | \overrightarrow{u_1}\overrightarrow{u_2} \right |}{ \left | \overrightarrow{u_1} \right |.\left | \overrightarrow{u_2} \right |}\)\(=\frac{\left | a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2 \right |}{\sqrt{a^2_1+b^2_1+c^2_1} .\sqrt{a^2_2+b^2_2+c^2_2}}\)

  • Nhận xét:
    • ​\(0^0\leq (\Delta _1;\Delta _2)\leq 90^0\).
    • \(\Delta _1\perp \Delta _2\Leftrightarrow a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\).

4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=(a;b;c)\), mặt phẳng (P) có một VTPT \(\overrightarrow{n}=(A;B;C)\), khi đó:

\(sin(\widehat{\Delta ;(P)})=\left | cos(\overrightarrow{n};\overrightarrow{u}) \right |= \frac{\left | Aa+Bb+Cc \right |}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

5. Các công thức tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng

a) Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng \(\Delta\) đi qua N và có một VTCP \(\overrightarrow{u}\). Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta\) xác định bởi công thức:

\(d(M;\Delta )=\frac{\left | \left [ \overrightarrow{NM};\overrightarrow{u} \right ] \right |}{\left | \overrightarrow{u} \right |}\)

b) Khoảng cách từ giữa đường thẳng và mặt phẳng song song 

Cho đường thẳng \(\Delta\) song song với mặt phẳng (P). M là một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta\). Khi đó: 

\(d(\Delta;(P))=d(M;(P))\)

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cách 1:
Trong không gian cho đường thẳng \(\Delta _1\) đi qua M1 có một VTCP \(\overrightarrow{u_1}\), \(\Delta _2\) đi qua M2 có một VTCP \(\overrightarrow{u_2}\). Khi đó:

\(d(\Delta _1;\Delta _2)=\frac{\left | [\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}] .\overrightarrow{M_1M_2}\right |}{[\overrightarrow{u_1};\overrightarrow{u_2}]}\)

Cách 2:
Gọi AB là đoạn vuông góc chung \(\Delta _1\), \(\Delta _2\) với\(A\in \Delta _1, B\in \Delta _2\) suy ra: \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_1}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_2}=0 \end{matrix}\right.\). Khi đó: 

\(d(\Delta _1;\Delta _2)=AB\)

 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A(1; 2;-3) và B(-2; 2;0).

b) d đi qua  A(-2;4;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha):\) 2x-3y–6z+19=0.

c) d đi qua điểm A(2;-5;3) và song song với đường thẳng \(d':\) \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = 3 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\).

d) d đi qua điểm M(3;1;5) và song song với hai mặt phẳng (P):2x+3y-2z+1=0 và (Q): x–3y+z-2=0.

Lời giải:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right).\)

Do d đi qua A và B nên VTCP của d là \(\overrightarrow u = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;0;1} \right)\).

Mặt khác d đi qua A(1; 2;-3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 2\\ z = - 3 + t \end{array} \right.\)

b) VTPT của \((\alpha)\) là \(\vec n = (2; - 3; - 6).\)

Do \(d \bot (\alpha )\) nên d nhận \(\vec u =\vec n=(2;-3;-6)\) là VTCP.

Mặt khác d đi qua  A(-2;4;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + 2t\\ y = 4 - 3t\\ z = 3 - 6t \end{array} \right.\)

c) VTCP của d' là \(\overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)

Do d// d’ nên VTCP của d \(\overrightarrow u = \overrightarrow {u'} = (1;2; - 3).\)

Mặt khác d đi qua điểm A(2;-5;3).

Suy ra phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t\\ y = - 5 + 2t\\ z = 3 - 3t \end{array} \right.\)   

d) Ta có: \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} = (2;3; - 2)\) và \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = (1; - 3;1)\) lần lượt là VTPT của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).

Do: \(\left\{ \begin{array}{l} d//\left( P \right)\\ d//(Q) \end{array} \right.\) nên d có VTCP là: \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = ( - 3; - 4; - 9).\)

Mặt khác: d đi qua điểm M(3;1;5)

Suy ra phương trình tham số của d là: \(\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t\\ y = 1 - 4t\\ z = 5 - 9t \end{array} \right.\)

Ví dụ 2:

Xác đinh trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \({\rm{d}}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 3 + 2t\\ y = - 2 + 3t\\ z = 6 + 4t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t'\\ y = - 1 - 4t'\\ z = 20 + t' \end{array} \right.\).

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = 2 + t\\ z = 3 - t \end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t'\\ y = - 1 + 2t'\\ z = 2 - 2t' \end{array} \right.\). 

Lời giải:

a) d qua A(-3;-2;6) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {2;3;4} \right).\) 

d’ qua B(5;-1;20) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 4;1} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} = \left( {8;1;14} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 3&4\\ { - 4}&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 1&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&3\\ 1&{ - 4} \end{array}} \right|} \right) = \left( {19;2; - 11} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 19.8 + 2.1 - 11.14 = 152 + 2 - 154 = 0\\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {19;2; - 11} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)

Suy ra d và d' cắt nhau.

b) d qua A(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right).\) 

d’ qua B(1;-1;2) có VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {2; 2;-2} \right).\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;-3;-1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ 2&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 2}&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {0;0;0} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {u'} = 2\overrightarrow u \\ \overrightarrow {AB} = \left( {0; - 3; - 1} \right) \ne \overrightarrow 0 \end{array} \right.\)  

Suy ra d và d' song song với nhau.

Ví dụ 3:

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + at\\ y = t\\ z = - 1 - 2t \end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t'\\ y = 2 + 2t'\\ z = 3 - t \end{array} \right.\).

Lời giải:

d qua A(1;0;-1) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {a;1;2} \right).\)

d’ qua B(1;2;3) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right).\)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {0;2;4} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2\\ 2&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&a\\ { - 1}&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a&1\\ { - 1}&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( { - 5;a - 2;2{\rm{a}} + 1} \right)\).

Nếu d cắt d' khi:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\ \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a - 2 \ne 0\\ 2{\rm{a}} - 1 \ne 0\\ 2(a - 2) + 4(2{\rm{a + }}1) = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a \ne 2\\ a \ne \frac{1}{2}\\ a = 0 \end{array} \right. \Rightarrow a = 0 \end{array}\)  

Vậy a=0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4:

Tính các khoảng cách sau:

a) Khoảng cách từ điểm A(1;0;1) đến đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}.\)

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t\\ y = - 1 - t\\ z = 1 \end{array} \right.\) và \(\Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - 3t'\\ y = 2 + 3t'\\ z = 3t' \end{array} \right.\quad \left( {t,t' \in R} \right)\).

Lời giải:

a) Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm B(1;0;0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;2;1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 1} \right)\\ \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec u} \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 2&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&0\\ 1&2 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 2&2 \end{array}} \right|} \right) = \left( {2; - 2;0} \right). \end{array}\)

Vậy \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\sqrt {4 + 4} }}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\) 

b) Đường thẳng \(\Delta\) qua A(1;-1;1) và có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta'\) qua B(2;2;0) và VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 3;3;3} \right).\)

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 1} \right)\\ \left[ {\vec u,\vec u'} \right] = \left( { - 3; - 3;0} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\vec u,\vec u'} \right].\overrightarrow {AB} = - 12. \end{array}\)

Vậy: \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = \frac{{\left| { - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 9 + 0} }} = \frac{{12}}{{3\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2.\) 

Ví dụ 5:

a) Tính góc tạo bởi đường thẳng (d): \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + t\\ z = 5 + 4t \end{array} \right.\)  và \((d'):\frac{{x - 2}}{{ - 1}} + \frac{{y - 4}}{3} + \frac{{z + 3}}{2} = 0.\)

b) Tìm m để đường thẳng \((d):\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = 1 - 2t\\ z = 1 - t \end{array} \right.\) và \((d'):\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t\\ y = 2 + (m - 2)t\\ z = t \end{array} \right.\) tạo với nhau một góc 600.

Lời giải:

a) VTCP của (d) là: \(\overrightarrow {{u_d}} = (2;1;4).\)  

VTCP của (d’) là: \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;3;2} \right).\)   

Gọi \(\varphi\) là góc tạo bởi hai đường thẳng (d) và (d’) ta có:

\(\begin{array}{l} \cos \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.( - 1) + 3.1 + 4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {4^2}} \sqrt {{{( - 1)}^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {294} }}\\ \Rightarrow \varphi \approx {88^0}15' \end{array}\)

b) \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2; - 2; - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {m;m - 2;1} \right)\)

(d) và (d’) tạo với nhau một góc 600 nên:

\(\begin{array}{l} \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right)} \right| = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2 - \sqrt 2 \\ m = 2 + \sqrt 2 \end{array} \right. \end{array}\)

Vậy \(m=2-\sqrt2\) và \(m=2+\sqrt2\) là các giá trị cần tìm.

Ví dụ 6:

Tìm m để  đường thẳng: \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + mt\\ y = (m - 2)t\\ z = 1 + t \end{array} \right.\) và (P): \(2x - 2y - z + 1 = 0\) tạo thành góc 300.

Lời giải:

d có VTCP: \(\overrightarrow u = (m,m - 2,1).\)  

(P) có VTPT: \(\overrightarrow n = (2; - 2; - 1).\)

d và (P) tạo với nhau một góc 300 nên:

\(\begin{array}{l} \sin {30^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ,\vec n} \right)} \right| = \frac{1}{2}\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} - 4m + 5} }} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 4m + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\\ m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2} \end{array} \right.. \end{array}\)

Vậy \(m = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{2}\) và \(m = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{2}\) là các giá trị cần tìm.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247