Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện - Hình học 12

10 trắc nghiệm 2 hỏi đáp

Tính thể tích khối đa diện là dạng toán quan trọng nhất ở chương này, để có thể giải được các bài tập dạng này đòi hỏi khả năng vân dụng, tổng hợp các kiến thức hình học không gian đã được học và ghi nhớ được các công thức tính thể tích các khối đa diện quen thuộc như khối chóp, khối lăng trụ,...Bên cạnh đó thể tích khối chóp còn được ứng dụng để tính khoảng cáchchứng minh hệ thức.

Tóm tắt lý thuyết

1. Tính chất của thể tích khối đa diện

  • Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
  • Nếu 1 khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ.
  • Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.

2. Thể tích khối hộp chữ nhật

Giả sử có 1 khối hộp chữ nhật với 3 kích thước a, b, c đều là những số dương. Khi đó thể tích của nó là: \(V=a.b.c\).

3. Thể tích khối chóp

  • Thể tích của 1 khối chóp bắng một phần ba tích số của mặt đáy và chiều cao khối chóp đó: \(V=\frac{1}{3}S_{day}.h.\)

\(V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABC}.SH\)

  • Công thức tỉ số thể tích của khối chóp tam giác:

Trên các đường thẳng SA, SB, SC của hình chóp S.ABC ta lấy lần lượt các điểm . Ta có: .

4. Thể tích khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy với chiều cao của khối lăng trụ đó: \(V=S_{day}.h.\)

\(V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.C'H\)

Bài tập minh họa

1. Tính thể tích khối chóp

Ví dụ 1:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, \(AB=a \sqrt 2, AC=a \sqrt 3\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB=a \sqrt 3.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a.\)

Suy ra: \({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}BA.BC = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a = \frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}\)

                                                                       

Tam giác SAB vuông tại A có \(SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = a.\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}.\sqrt 2 }}{2}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{6}.\)   

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt2\), cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SC=a \sqrt5\). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. 

Lời giải:

   

Diện tích ABCD: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}.\)   

Ta có: \(AC = AB.\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a.\)

Tam giác SAC vuông tại A nên: \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = a\).

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.2{a^2}.a = \frac{{2{a^3}}}{3}.\)

Ví dụ 3:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng \(a\sqrt3\), cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC.  

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

O là trọng tâm tam giác ABC suy ra \(SO \bot (ABC).\)

Tam giác ABC đều cạnh \(a\sqrt3\) suy ra:

\(AM=a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{2}.\)

 \({\rm{AO = }}\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}}.AM = \frac{2}{3}.\frac{{3a}}{2} = a\).

\({{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin {60^0} = \frac{1}{2}.a\sqrt 3 .a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}.\sqrt 3 }}{4}\).

Tam giác SAO vuông tại A nên ta có \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = a.\sqrt 3.\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}.\sqrt 3 }}{4}.\)

Ví dụ 4:                                                            

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600.Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

\(SA \bot (ABCD)\) nên AC là hình chiếu của SC lên mặt mặt phẳng (ABCD).

Do đó: \(\widehat {(SC,(ABCD))} = \widehat {(SC,AC)} = \widehat {SCA} = {60^o}.\)

Diện tích đáy là: \({{\rm{S}}_{{\rm{ABCD}}}} = {a^2}.\)

Tam giác SAC vuông tại A có \(AC=a \sqrt2, \widehat {SCA} = {60^0} \Rightarrow SA = AC.\tan {60^o} = a\sqrt 6.\)

Vậy thể tích khối chóp là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 6 = \frac{{{a^3}.\sqrt 6 }}{3}.\) 

Ví dụ 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh \(BC=a\sqrt2,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC.  

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC ta có: \(AM \bot BC\).

Mặt khác: \(SA \bot BC\) do \(SA \bot \left( {ABC} \right).\)

Nên: \(BC \bot (SAM) \Rightarrow SM \bot BC.\)

Suy ra: \(\widehat {((SBC),(ABC))} = \widehat {(SM,AM)} = \widehat {SMA} = {45^o}\).

Tam giác ABC vuông cận tại A có \(BC=a\sqrt2\) suy ra: 

\(AB = BC = a\) và \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \(\Rightarrow {{\rm{S}}_{\Delta {\rm{ABC}}}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Tam giác SAM vuông tại A có \(AM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\widehat {SMA} = {45^o}\)

Suy ra: \(SA = AB.\tan {45^o} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là:

 \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}.\sqrt 2 }}{{12}}\).

2. Thể tích khối lăng trụ

Ví dụ 6:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, \(AC=a\sqrt3\), cạnh A'B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải: 

             

Tam giác ABC vuông tại B nên \(BC=\sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2.\)

Suy ra: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Tam giác A'AB vuông tại A nên: \(A'A = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 3 .\) 

Vậy thể tích khối lăng trụ là: \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.A'A = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{2}.\)         

Ví dụ 7:

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(2a\sqrt3\), hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A'A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC.

G là trọng tâm tam giác ABC suy ra: \(A'G \bot (ABC)\).

Do đó AG là hình chiếu vuông góc của AA' lên mặt phẳng (ABC).  

Suy ra: \(\left( {\widehat {{A^/}A,(ABC)}} \right) = \widehat {{A^/}AG} = {30^0}.\)

Tam giác ABC đều cạnh \(2a\sqrt3\) nên: \({S_{ABC}} = {\left( {2a\sqrt 3 } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = 3{a^2}\sqrt 3.\)

Tam giác A'AG vuông tại G có \(\widehat A = {30^0},AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.2a\sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a.\)

Suy ra: \(A'G = AG.\tan {30^0} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy: \({V_{ABC.{A'}{B'}{C'}}} = {S_{ABC}}.{A'}A = 6{a^3}.\)     

3. Công thức tính tỷ số thể tích

Ví dụ 8:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt3.\)Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM.

Lời giải:

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S.

Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:

\(\frac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{{\rm{SA}}}}{{{\rm{SA}}}}.\frac{{SM}}{{SB}}.\frac{{SN}}{{SC}} = 1.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Suy ra: \({V_{S.AMN}} = \frac{{{V_{S.ABC}}}}{4} = \frac{{\frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}\)

Và: \({V_{A.BCNM}} = \frac{3}{4}.{V_{S.ABC}} = {\frac{{3a}}{4}^3}.\)

Ví dụ 9:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, M và N theo thứ tự là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V_{S.CDMN}}}}{{{V_{S.CDAB}}}}\).

Lời giải:

Ta có:

\({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MCD}} + {V_{S.MNC}}\) và \({V_{S.ABCD}} = {V_{S.ACD}} + {V_{S.ABC}}\).

Khi đó: \(\frac{{{V_{S.MCD}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{S.MCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\)

 Mặt khác: \(\frac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{S.MNC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}\)

Từ trên suy ra \({V_{S.MNCD}} = \left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{8}} \right){V_{S.ABCD}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}\).

-- Mod Toán Học 12 HỌC247