Giải tích 12 Chương 1 Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 236 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.

  • M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).
  • m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).

2. Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D 

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

  • Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
  •  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)
    • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
    • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
    • Khi đó :  

Bài tập minh họa

1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Ví dụ 1: 

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)
  • \(y'=3x^2-6x-9.\)
  • \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b)  Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)

  • ​\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)
  • \(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)
  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Ví dụ 2:

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

Lời giải:

 a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

  • \({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)
  • \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)
  • Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)

  • \({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)
  • Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)
  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)

c)  Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)
  • Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)
  • Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).
  • Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).
    • Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)
    •   \({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
    • Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).
  • Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).

Lời kết

Trên đây là nội dung của bài học Ứng dụng đạo hàm tìm Giá trị lớn nhấtGiá trị nhỏ nhất của hàm số. Bài học chỉ trình bày đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 1 Bài 3. Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp Giải tích 12 Chương 1 Bài 3, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Giải tích 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247