Giải tích 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân

5 trắc nghiệm 6 bài tập SGK 135 hỏi đáp

Khái niệm Tích phân được giới thiệu sau khái niệm nguyên hàm, là sự kế thừa và phát triển của bài học trước. Tương tự bài học Nguyên hàm, bài Tích phân sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, các tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích tính phân là phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân từng phần được xây dựng trên nền tảng Nguyên hàm của một hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm \(f(x)\) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu \(F(x)\) là một nguyên hàm của \(f(x)\) thì hiệu số \(F(b)-F(a)\) được gọi là tích phân của \(f(x)\) từ a đến b và ký hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\) Trong trường hợp \(a

2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số \(f(x),\,g(x)\) liên tục trên K và \(a,b,c\) là ba số thuộc K.

  • \(\,\int\limits_a^a {f(x)dx = 0}\)
  • \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} }\)
  • \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} + \int\limits_c^b {f(x)dx} }\)
  • \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k\int\limits_a^b {f(x)dx} }\)
  • \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm \int\limits_a^b {g(x)dx} }\)

3. Một số phương pháp tính tích phân

a) Phương pháp đổi biến số

Công thức đổi biến số \(\int\limits_a^b {f[u(x)]u'(x)dx = \int\limits_{u(a)}^{u(b)} {f(u)du} }.\) Trong đó \(f(x)\) là hàm số liên tục và \(u(x)\) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp \(f[u(x)]\) xác định trên J; \(a,\,b \in J.\)

  • Các phương pháp đổi biến số thường gặp:
    • Cách 1: Đặt \(u = u(x)\) (\(u\) là một hàm theo \(x\)).
    • Cách 2: Đặt \(x=x(t)\) (\(x\) là một hàm theo \(t\)).

b) Phương pháp tích phân từng phần

Định lí:

Nếu \(u(x),\,v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và \(a,b\) là hai số thuộc K thì \(\int\limits_a^b {u(x)v'(x)dx} = \left. {u(x)v(x)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v(x)u'(x)dx}.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Áp dụng công thức tính tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:

a)  \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx}\)

b)  \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}\)

Lời giải:

a) \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)dx} = \left. {\left( {\ln \left| x \right| + \frac{2}{x}} \right)} \right|_1^2\)

\(= \left( {\ln 2 + 1} \right) - \left( {\ln 1 + 2} \right) = - 1 + \ln 2\)

b) \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {(1 + \cos 2x)dx = } \left. {\frac{1}{2}(x + \frac{1}{2}sin2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{8}\)

 

Ví dụ 2:

Áp dụng phương pháp đổi biến số, tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}} dx\)

b) \(I = \int\limits_0^2 {{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} dx}\)

c) \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(t = \sqrt {1 + x} \Rightarrow {t^2} = 1 + x \Rightarrow 2tdt = dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 1;x = 3 \Rightarrow t = 2\)

\(\begin{array}{l} \int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}dx = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{t + 1}}} } 2tdt = \int\limits_1^2 {2t(t - 1)dt} \\ = \left. {\left( {\frac{2}{3}{t^3} - {t^2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{3} \end{array}\)

b) Đặt: \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {t^2} - 1}\\ {xdx = tdt} \end{array}} \right.\)

Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 0}\\ {x = 2} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {t = 1}\\ {t = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)

Vậy: \(I = \int\limits_1^{\sqrt 5 } {\left( {{t^2} - 1} \right)t.tdt} = \left( {\frac{{{t^5}}}{5} - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt 5 }\\ 1 \end{array} = \frac{2}{{15}} + \frac{{10\sqrt 5 }}{3}} \right.\)

c) Đặt \(x = 2\sin t\) với \(t \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow dx = 2\cos tdt\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0;x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\)

Vậy: \(\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{\sqrt {4 - 4{{\sin }^2}t} }} = } } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{2\cos tdt}}{{2\cos t}} = } \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{\pi }{6}}\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{\pi }{6}\)

Ví dụ 3: 

Vận dụng phương pháp tính tích phân từng phân, tính các tích phân sau:

a) \(I = \int\limits_0^1 {x.{e^{2x}}dx}\)

b) \(I = \int\limits_1^2 {({x^2} - 1)\ln xdx}\)

Lời giải:

a) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = x}\\ {dv = {e^{2x}}dx} \end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = dx}\\ {v = \frac{{{e^{2x}}}}{2}} \end{array}} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{x{e^{2x}}}}{2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}}}}{2}dx} = \left. {\frac{{{e^2}}}{2} - \frac{{{e^{2x}}}}{4}} \right|_0^1 = \frac{{{e^2} + 1}}{4}\).

b) Đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {u = \ln x}\\ {dv = \left( {{x^2} - 1} \right)dx} \end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {du = \frac{{dx}}{x}}\\ {v = \frac{{{x^3} - 3x}}{3}} \end{array}} \right.} \right.\)

\(I = \left. {\frac{{\left( {{x^3} - 3x} \right)\ln x}}{3}} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 3}}{3}} dx = \frac{{2\ln 2}}{3} - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{9} - x} \right)} \right|_1^2\)\(= \frac{{2\ln 2}}{3} + \frac{2}{9}\).

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em những khái niệm và dạng toán cơ bản nhất của Tích phân. Các em cần ghi nhớ các tính chất  các phương pháp tính Tích phân để vận dụng vào việc giải bài tập.

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Giải tích 12 Chương 3 Bài 2, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Giải tích 12 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247