Giải tích 12 Chương 2 Bài 2 Hàm số lũy thừa

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 3 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các yếu tố liên quan đến hàm số lũy thừa như khái niệm, tập xác định, tính đợn điệu, cách tính đạo hàm, các dạng đồ thị của hàm số lũy thừa qua đó sẽ tạo nên tảng kiến thức phục vụ cho các em trong quá trình giải các dạng bài tập liên quan đến hàm số lũy thừa.

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm hàm số luỹ thừa 

Hàm số luỹ thừa là hàm số có dạng \(y=x^{\alpha}\), trong đó \(\alpha\) là một hằng số tuỳ ý.
Từ định nghĩa các luỹ thừa, ta thấy: 

  • Hàm số \(y=x^n\) với n nguyên dương, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

  • Hàm số \(y=x^n\), với n nguyên âm hoặc n = 0, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

  • Hàm số \(y=x^{\alpha}\), với \(\alpha\) không nguyên, có tập xác định là tập hợp các số thực dương \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Người ta chứng minh được rằng hàm số lũy thừa liên tục trên tập xác định của nó.
♦ Chú ý:
Theo định nghĩa, đẳng thức \(\sqrt[n]{x} = {x^{\frac{1}{n}}}\) chỉ xảy ra nếu \(x>0\) do đó, hàm số \(y=x^\frac{1}{n}\) không đồng nhất với hàm số \(y = \sqrt[n]{x}(n \in {\mathbb{N}^*})\). Chẳng hạn, hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\) là hàm số căn bậc ba, xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\); còn hàm số luỹ thừa \(y=x^\frac{1}{3}\) chỉ xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

2. Đạo hàm của hàm số luỹ thừa

a) Định lý 

  • Hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in \mathbb{R})\) có đạo hàm tại mọi điểm \(x>0\) và \(\left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).

  • Nếu hàm số \(u=u(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm trên \(J\) thì hàm số \(y = {u^\alpha }(x).\) cũng có đạo hàm trên \(J\) và \(\left( {{u^\alpha }\left( x \right)} \right)' = \alpha .{u^{\alpha - 1}}(x).u'(x)\).

b) Chú ý: 

  • Áp dụng định lí trên, ta dễ dàng chứng minh công thức đạo hàm của hàm số căn bậc n sau đây: \(\left( {\sqrt[n]{x}} \right)' = \frac{1}{{n\sqrt[n]{{{x^{n - 1}}}}}}\) (với mọi \(x>0\) nếu n chẵn, với mọi \(x\ne0\) nếu n lẻ).

  • Nếu \(u=u(x)\) là hàm số có đạo hàm trên \(J\) và thoả mãn điều kiện \(u(x)>0\) với mọi \(x \in J\) khi n chẵn, \(u(x)\ne0\) với mọi \(x \in J\) khi n lẻ thì:

\(\left( {\sqrt[n]{{u(x)}}} \right)' = \frac{{u'(x)}}{{n\sqrt[n]{{{u^{n - 1}}(x)}}}}\,\left( {\forall x \in J} \right)\)
Nhận xét: Do \(1^\alpha =1\) với mọi \(\alpha\) nên đồ thị của mọi hàm số lũy thừa đều đi qua điểm (1;1).

3. Khảo sát hàm số lũy thừa \(y=x^{\alpha}\)

  • Tập xác định của hàm số lũy thừa luôn chưa khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) với mọi \(\alpha \in \mathbb{R}\). 
  • Trong trường hợp tổng quát ta khảo sát hàm số \(y=x^{\alpha}\) trên khoảng này, ta được bảng tóm tắt sau:

  • Hình dạng của đồ thị hàm số lũy thừa trong các trường hợp xét trên tập \(\left( {0; + \infty } \right)\):

♦ Chú ý: 

Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác định của nó.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y=x^6\)

b) \(y=(1-x)^{\sqrt2}\)

c) \(y=(x+2)^{-3}\)

Lời giải: 

a) Hàm số \(y=x^6\) xác định với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D=\mathbb{R}.\)

b) Hàm số \(y=(1-x)^{\sqrt2}\) xác định khi \(1 - x > 0 \Leftrightarrow x < 1.\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;1} \right)\).

c) Hàm số \(y=(x+2)^{-3}\) xác định khi \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\) 

Ví dụ 2: 

Tính đạo hàm các hàm số

a) \(y = {x^{\sqrt 2 + 1}}\)

b) \(y = {x^{3\pi }}\)

c) \(y=x^{-0,9}\)

Lời giải:

a) \(y' = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{1}{2} - 1}} = - \frac{1}{2}{x^{ - \frac{3}{2}}} = - \frac{1}{{2\sqrt {{x^3}} }}.\)

b) \(y' = 3\pi .{x^{3\pi - 1}}\).

c) \(y' = - 0,9{x^{ - 0,9 - 1}} = - 0,9{x^{ - 1,9}}.\)

Ví dụ 3:

Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(y = {(2x + 1)^\pi }\)

b) \(y = {(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 }}\)

c) \(y = {\left( {2{x^2} + x - 1} \right)^{\frac{2}{3}}}\)

Lời giải:

a) \(y' = \pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}(2x + 1)' = 2\pi {(2x + 1)^{\pi - 1}}.\)

b) \(y' = - \sqrt 2 {\left( {3{x^2} - 1} \right)^{ - \sqrt 2 - 1}}(3{x^2} - 1)' = - 6\sqrt 2 x{(3{x^2} - 1)^{ - \sqrt 2 - 1}}.\)

c) \(y' = \frac{2}{3}{(2{x^2} + x - 1)^{ - \frac{1}{3}}}(4x + 1).\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em những khái niệm và tính chất cơ bản nhất của Hàm số lũy thừa. Các em cần ghi nhớ điều kiện xác định, công thức tính đạo hàm và những đặc trưng của đồ thị hàm số lũy thừa. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Giải tích 12 Chương 2 Bài 2 Hàm số Lũy thừa với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Giải tích 12 Chương 2 Bài 2, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Giải tích 12 Chương 2 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247