Giải tích 12 Bài 2: Cộng, trừ và nhân số phức

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 7 hỏi đáp

Tương tự với số thực, ta cũng có thể thực hiện các phép tính thông thường trên tập số phức. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em qui tắc cộng, trừ nhân số phức. Các em cần nắm vững những qui tắc này để làm cơ sở cho việc giải những bài toán liên quan đến số phức.

Tóm tắt lý thuyết

1. Công thức cộng, trừ và nhân hai số phức

Cho hai số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\) ta có:

  • \(z_1+z_2=(a + bi) + ( c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
  • \(z_1-z_2=(a + bi) - ( c + di) = (a - c) + (b - d)i\)
  • \(z_1.z_2=(a + bi)( c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)

2. Nhận xét 

  • Phép cộng và phép nhân số phức được thực hiện tương tự như đối với số thực, với chú ý \(i^2=-1.\)
  • Với mọi \(z,z'\in\mathbb{C}\):
    • \(z + \overline z = 2a\) (với \(z = a + bi\))        
    •  =  + '     
    • \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = {\left| {\overline z } \right|^2}\)
    • \(\left| {z.z'} \right| = \left| z \right|.\left| {z'} \right|\)     
    • \(\left| {z + z'} \right| \le \left| z \right| + \left| {z'} \right|\)                                                                                                                                

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho số phức \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i.\) Tìm các số phức sau \(\overline z\); \(z^2\); \({\left( {\overline z } \right)^3}\); \(1+z+z^2.\)

Lời giải:

  • \(z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i \Rightarrow \overline z = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i\)
  • \({z^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

\(\Rightarrow {\left( {\overline z } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right)^2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}{i^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\)

  • \({\left( {\overline z } \right)^3} = {\left( {\overline z } \right)^2}.\overline z = \left( {\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2}i} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{4} + \frac{1}{2}i + \frac{3}{4}i - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = i\)
  • \(1 + z + {z^2} = 1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2}i + \frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} - \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}i\)

Ví dụ 2:

Tìm phần thực, phần ảo và tính mô đun của số phức \(z\) biết: \(\overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right).\)

Lời giải: 

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overline z = {\left( {\sqrt 2 + i} \right)^2}\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = \left( {2 + {i^2} + 2i\sqrt 2 } \right)\left( {1 - i\sqrt 2 } \right) = 5 + i\sqrt 2 \\ \Rightarrow z = 5 - i\sqrt 2 \end{array}\)

Vậy z có phần thực bằng 5; phần ảo bằng \(-\sqrt2\).

Môđun: \(\left| z \right| = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3\sqrt 3 .\)

Ví dụ 3: 

Tìm số phức \(z\) biết \((2z - i)(1 + i) + (\overline z + 1)(1 - i) = 2 - 2i.\)

Lời giải:

Cho \(z=a+bi (a,b\in\mathbb{R})\) suy ra \(\overline z = a - bi,\) từ giải thiết bài toán ta có:

\((2a + 2bi - 1)(1 + i) + (a - bi + 1)(1 - i) = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow 3a - 3b + (a + b - 2)i = 2 - 2i\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3a - 3b = 2\\ a + b - 2 = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = \frac{1}{3}\\ b = \frac{{ - 1}}{3} \end{array} \right.\)

Vậy \(z=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}i.\)

Ví dụ 4: 

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa \(\left| {z - 1 + i} \right|=2.\)

Lời giải:

Đặt \(z=x+yi (x,y\in\mathbb{R})\) ta có: \(z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i\)

\(\left| {z - 1 + i} \right|=2\) suy ra: \(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y + 1)}^2}} = 2 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y + 1)^2} = 4\)

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R=2.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247