Bài 1: Lũy thừa - Giải tích 12

5 trắc nghiệm 5 bài tập SGK 2 hỏi đáp

Lũy thừa là một khái niệm quen thuộc đã được học từ lớp 7, đến chương trình giải tích 12 khái niệm lũy thừa được mở rộng và học sinh được tìm hiểu sâu hơn. Nội dung bài học cung cấp đến các em những vấn đề lý thuyết trọng tâm cũng như phương pháp giải bài tập sẽ giúp các em học tập tốt phần này.

Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm lũy thừa

a) Lũy thừa với số mũ nguyên

Cho \(n\) là một số nguyên dương.

  • Với \(a\) là số thực tùy ý, lũy thừa bậc \(n\) của \(a\) là tích của \(n\) thừa số \(a\): \({a^n} = \underbrace {a.a......a}_n\)
  • Với \(a\ne0\): 
    • ​\(a^0=1\)
    • ​\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

Trong biểu thức \(a^m\), ta gọi \(a\) là cơ số, số nguyên \(m\) là số mũ.

  • Chú ý: 
    • \(0^0\) và \(0^n\) không có nghĩa.
    • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tihs chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

b) Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho \(a\) là số thực dương và số hữu tỉ \(r=\frac{m}{n}\) trong đó \(m\in\mathbb{Z},n\in\mathbb{N},n\geq 2.\) Lũy thừa với số mũ \(r\) là số \(a^r\) xác đinh bởi: \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

c) Lũy thừa với số mũ thực

Cho \(a\) là một số dương, \(\alpha\) là một số vô tỉ:

Ta gọi giới hạn của dãy số \(\left( {{a^{{r_n}}}} \right)\) là lũy thừa của \(a\) với số mũ \(\alpha\), kí hiệu là \(a^{\alpha}.\)

\({a^\alpha } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}}\) với \(a = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}\).

2. Các tính chất quan trọng của lũy thừa

Với số thực \(a>0\) ta có các tính chất sau:

  • \(a^x.a^y=a^{x+y} \ \ \ x, y\in \mathbb{R}\)
  • \(\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} \ \ \ x, y \in \mathbb{R}\)
  • \((a^x)^y=a^{xy} \ \ \ x,y\in R\)
  • \(\sqrt[x]{a^y}=a^{\frac{y}{x}} \ \ \ x\in N, x\geq 2, y\in R\)
  • \((a.b)^x=a^x.b^x\)
  • \(\left ( \frac{a}{b} \right )^y=\frac{a^y}{b^y}\)

3. So sánh hai lũy thừa

Cho số thực \(a\):

  • Nếu \(a>1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x>y\).
  • Nếu \(0<a<1\) thì \(a^x > a^y\Leftrightarrow x<y\).

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: 

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}\left( {ab \ne 0;a \ne \pm b} \right)\)

Lời giải:

\(A = \frac{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}} - \frac{{{a^{ - n}} - {b^{ - n}}}}{{{a^{ - n}} + {b^{ - n}}}} = \frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}} - \frac{{{b^n} - {a^n}}}{{{a^n}{b^n}\left( {\frac{{{a^n} + {b^n}}}{{{a^n}{b^n}}}} \right)}}\)

\(= \frac{{{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)}^2} - {{\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}^2}}}{{\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\left( {{b^n} - {a^n}} \right)}} = \frac{{4{a^n}{b^n}}}{{{b^{2n}} - {a^{2n}}}}\)

Ví dụ 2: 

Cho a,b là các số thực dương .Rút gọn biểu thức sau:

a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}}\)

Lời giải:

a) \(\left( {1 - 2\sqrt {\frac{a}{b}} + \frac{b}{a}} \right):{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = {\left( {1 - \sqrt {\frac{a}{b}} } \right)^2}:\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\)

\(= \frac{{{{\left( {\sqrt b - \sqrt a } \right)}^2}}}{b}.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{1}{b}\)

b) \(\frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}} - {b^{\frac{3}{2}}}}}{{{b^{\frac{1}{2}}} + {b^{ - \frac{1}{2}}}}} = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {1 - {b^2}} \right)}}{{{b^{ - \frac{1}{2}}}\left( {{b^2} - 1} \right)}} = 1 + a + 1 = a + 2\)

Ví dụ 3: 

Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\quad \left( {a > 0} \right)\)

Lời giải:

a) \(A = \sqrt[5]{{2\sqrt[3]{{2\sqrt 2 }}}} = \left\{ {{{\left[ {{{\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]}^{\frac{1}{5}}}} \right\}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{2^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}.2} \right]^{\frac{1}{5}}} = {\left( {{2^{\frac{1}{2}}}.2} \right)^{\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{2}\frac{1}{5}}} = {2^{\frac{3}{{10}}}}\)

b) \(B = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {\left\{ {{{\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}a} \right]}^{\frac{1}{2}}}.a} \right\}^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\)

\(= {\left[ {{{\left( {{a^{\frac{3}{4} + 1}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}.a} \right]^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{6}}} = {\left( {{a^{\frac{7}{8} + 1}}} \right)^{\frac{1}{2}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = \frac{{{a^{\frac{{15}}{{16}}}}}}{{{a^{\frac{{11}}{{16}}}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}\)

Ví dụ 4:

Cho a là số thực dương, đơn giản các biểu thức sau:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}}\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

Lời giải:

a) \({a^{\sqrt 2 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{\left( {{a^{ - 1}}} \right)^{\sqrt 2 - 1}} = {a^{\sqrt 2 }}{a^{1 - \sqrt 2 }} = a\)

b) \(\frac{{{a^{2\sqrt 2 }} - {b^{2\sqrt 3 }}}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1 = \frac{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)\left( {{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }}} \right)}}{{{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} + 1\)

\(= \frac{{{a^{\sqrt 2 }} + {b^{\sqrt 3 }} + {a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}{{\left( {{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{2{a^{\sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 2 }} - {b^{\sqrt 3 }}}}\)

Ví dụ 5:

Không dùng máy tính bỏ túi, hãy so sánh các cặp số sau:

a) \(\sqrt[4]{{13}}\; \vee \;\sqrt[5]{{23}}\)

b) \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }}\; \vee \;{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt[4]{{13}} = \sqrt[{20}]{{{{13}^5}}} = \sqrt[{20}]{{371.293}}\\ \sqrt[5]{{23}} = \sqrt[{20}]{{{{23}^4}}} = \sqrt[{20}]{{279.841}} \end{array} \right. \Rightarrow \sqrt[4]{{13}} > \sqrt[5]{{23}}\)

b) Ta có: \(\sqrt 3 > \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 3 }} < {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{\sqrt 2 }}\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em những khái niệm và tính chất cơ bản nhất của lũy thừa. Các em cần ghi nhớ các tính chất và so sánh lũy thừa cùng cơ số để vận dụng cho việc giải các dạng bài tập khác sau này. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm  Lũy thừa với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi-đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247