Giải bài tập SGK Bài 2 Chương 5 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\);

b) \(y = x^3 - 2x + 1\) tại \(x_0 = 2\).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^5 - 4 x^3 + 2x - 3\);

b)   \(y =\frac{1}{4}-\frac{1}{3}x+x^2-0,5x^4\);

c)  \(y =\frac{x^{4}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{4x^{2}}{5}-1\) 

d) \(y = 3x^5(8 - 3x^2).\)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = (x^7 - 5x^2)^3\);

b) \(y = (x^2 + 1)(5 - 3x^2)\);

c) \(y = \frac{2x}{x^{2}-1}\);

d)  \(y =\frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);

e)  \(y =\left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (m, n là các hằng số).

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = x^2 - x\sqrt{x} + 1\);

b) \(y = \sqrt{(2 - 5x - x^2)};\)

c)  \(y =\frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) ( a là hằng số);

d) \(y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\).

Cho \(y = x^3 -3x^2 + 2\). Tìm x để :

a) \(y' > 0\)

b) \(y' < 3\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y =  - 9{x^3} + 0,2{x^2} - 0,14x + 5\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{2}{x} - \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{5}{{{x^3}}} - \frac{6}{{7{x^4}}}\)

Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = (9 - 2x)(2{x^3} - 9{x^2} + 1)\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{5 - 3x - {x^2}}}{{x - 2}}\)

Tính đạo hàm của hàm số: \(y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right)2{\left( {{x^4} + 1} \right)^3}\)

Tìm đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {a + \frac{b}{x} + \frac{c}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

Chứng minh rằng nếu S(r) là diện tích hình tròn bán r$r$ thì S′(r) là chu vi hình tròn đó.

Chứng minh rằng nếu V(R) là thể tích hình cầu bán kính R thì V′(R) là diện tích mặt cầu đó.

Giả sử V là thể tích hình trụ tròn xoay với chiều cao h và bán kính đáy r. Chứng minh rằng với r là hằng số thì đạo hàm V′(h) bằng diện tích đáy hình trụ và với h là hằng số thì đạo hàm V′(r) bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Cho \(f\left( x \right) = 5 - 3x - {x^2}\). Tính \(f'\left( 0 \right);f'\left( { - 2} \right)\)

Cho hàm số: \(y = \sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} \). Tính y′

A. \(y\prime  = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{\sqrt {{x^3} - 2{x^2} + 1} }}\)

B. \(y' = \frac{{3{x^2} + 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2x + 1} }}\)

C. \(y' = \frac{{3{x^3} - 4x}}{{{x^3} - 2{x^2} + 1}}\)

D. \(y' = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{2\sqrt {{x^3} - 2x + 1} }}\)

Cho \(f\left( x \right) = {x^5} - {x^3} - 2x - 3\). Tính \(f'(1);f'(0)\)

Giải bất phương trình \({\varphi '\left( x \right) < 0}\) với \(\varphi \left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 1}}\)

A. \(\left( { - \infty ;\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\mathop  \cup \nolimits^ \left( {\sqrt 5 ; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\mathop  \cup \nolimits^ \left( {1; + \infty } \right)\)

D. R

Tính f′(1), biết rằng \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{3}{{{x^3}}}\)

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x₀ được cho kèm theo

a) \(y = 7 + x - {x^2},{x_0} = 1\)

b) \(y = {x^3} - 2x + 1,{x_0} = 2\)

c) \(y = 2{x^5} - 2x + 3,{x_0} = 1\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau (a và b là hằng số)

\(\begin{array}{l}
a)y = {x^5} - 4{x^3} + 2x - 3\sqrt x \\
b)y = \frac{1}{4} - 13x + {x^2} - 0,5{x^4}\\
c)y = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} - x + {a^3}\\
d)y = \frac{{ax + b}}{{a + b}}
\end{array}\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau :

\(\begin{array}{l}
a)y = {\left( {{x^7} + x} \right)^2}\\
b)y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\\
c)y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\\
d)y = \frac{{5x - 3}}{{{x^2} + x + 1}}\\
e)y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\\
f)y = x(2x - 1)(3x + 2)
\end{array}\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau

a) \(y = {(x - {x^2})^{32}}\)

b) \(y = \frac{1}{{x\sqrt x }}\)

c) \(y = \frac{{1 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}\)

d) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\) (a là hằng số)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x} \) . Hãy giải bất phương trình \(f'\left( x \right) \le f\left( x \right)\)

Cho hàm số f(x) = x³ − 3x₂ + 2. Hãy giải bất phương trình :

a) f'(x) > 0

b) f′(x) ≤ 3

Tìm các nghiệm của phương trình sau (làm tròn kết quả nghiệm gần đúng đến hàng phần nghìn)

a) f′(x) = 0 với \(f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - 2{x^2} - 6x - 1\)

b) f'(x) = -5 với \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - {x^3} - \frac{{3{x^2}}}{2} - 3.\)

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau

\(\begin{array}{l}
a)y = \frac{{2x + 3}}{{{x^2} - 5x + 5}}\\
b)y = \frac{1}{{{{({x^2} - x + 1)}^5}}}\\
c)y = {x^2} + x\sqrt x  + 1\\
d)y = (x + 1){(x + 2)^2}{(x + 3)^3}\\
e)y = \sqrt {\frac{{{x^2} + 1}}{x}} 
\end{array}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\), biết hoành độ tiếp điểm là x₀ = 0

b) \(y = \sqrt {x + 2} \), biết tung độ tiếp điểm là y₀ = 2

Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = x², biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0 ; -1).

Hướng dẫn : Trước hết viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0thuộc parabol đã cho. Sau đó tìm x₀ để tiếp tuyến đi qua điểm A (chú ý rằng điểm A không thuộc parabol).