Bài 5: Khoảng cách - Hình học 11

5 trắc nghiệm 11 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian và phương pháp xác định khoảng cách giữa chung. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan Khoảng cách, trọng tâm là xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Tóm tắt lý thuyết

1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a (hoặc trên mp(P)).

  • d(O;a) = OH: 

  • d(O; (P))= OH:

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).

  • d(a;(P)) = d(O,(P)) = OH:

 

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Cho (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song. Khoảng cách giữa (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

  • d((P);(Q)) = OH:

4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó khoảng cách giữa a và b là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

  • d(a;b) = AB:

 

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

"KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN"

 

Sơ đồ Hệ thống hóa kiến thức khoảng cách trong không gian

 

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), điểm A không thuộc mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), E là điểm thuộc AM sao cho: \(\frac{{ME}}{{MA}} = k.\)

a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

b. Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\), từ đó suy ra khoảng cách từ I – trung điểm của AM đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

c. Gọi d là đường thẳng qua I song song với mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). Lấy J thuộc d, tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

d. Gọi C là chân đường vuông góc của J lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\). D là trung điểm của JC. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Hướng dẫn giải:

 

a) H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\) nên: d(A,\(\left (\alpha \right )\)) = AH = h.

b) Gọi P là chân đường vuông góc của E lên mặt phẳng \(\left (\alpha \right )\).

Khi đó:  d(E, \(\left (\alpha \right )\)) = EP.

Ta có : EP // AH (đều vuông góc với mp \(\left (\alpha \right )\)) và M, P, H thẳng hàng.

Theo định lí Tallet ta có: 

\(\frac{{EP}}{{AH}} = \frac{{ME}}{{MA}}=k\)

Khi đó: EP = k.AH hay d(E, (a)) = k.h (1).

Vì I là trung điểm của AM nên:

\(d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h\) (áp dụng kết quả (1) với \(k=\frac{1}{2}\)).

c) Ta có: IJCQ là hình chữ nhật nên IQ=JC

Do đó: \(d(J,\left( \alpha \right)) = d(I,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.h.\)

d) D là trung điểm của JC nên \(\frac{CD}{CJ}=\frac{1}{2}.\)

Suy ra: \(d(Q,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}d(J,\left( \alpha \right)) = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.h = \frac{1}{4}.h\).

Ví dụ 2:

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a.

a. Chứng minh (SAB) \(\bot\) (SBC) .

b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c. Gọi I là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ điểm I đến mp(SBC).

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết ta có: \(SA \bot (ABC)\).

Suy ra \(SA \bot BC\) (1).

Mà \(AB \bot BC\) (giả thiết) (2).

Từ (1) và (2) ta suy ra: \(BC \bot (SAB)\Rightarrow (SBC) \bot (SAB).\)

b) Ta có: \((SAB)\cap (SBC)=SB\).

Kẻ \(AH \bot SB (H\in SB).\)

Do tam giác SAB vuông cân nên H là trung điểm của SB.

Khi đó: \(AH \bot (SBC)\) nên \(d(A, (SBC))=AH\).

Xét tam giác SAB vuông cân tại A. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

c) Ta có: \(AB\cap (SBC)=B\) và \(\frac{BI}{BA}=\frac{1}{2}\) (do I là trùng điểm của AB) nên:

\(d(I,(SBC)) = \frac{1}{2}d(A,(SBC)) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Ví dụ 3: 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = SC = SD = \(a\sqrt2\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC.

Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:

Vì AD // BC nên d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).

Ta có \(AO\cap (SBC)=C\) và \(\frac{CO}{CA}=\frac{1}{2}\), do đó:

d(A,(SBC)) = 2.d(O,(SBC)).

\(SO \bot (ABCD)\) nên \(SO \bot BC\)

Kẻ \(SI \bot BC\) thì I là trung điểm của BC.

Suy ra: \(BC \bot (SOI)\Rightarrow (SBC)\bot (SOI)\)

\((SBC)\cap (SOI)=SI\)

Kẻ \(OI \bot SI (H\in SI).\) Khi đó \(d(O,(SBC)) = OH\)

Xét tam giác SOI vuông tại O, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{J^2}}} + \frac{1}{{O{S^2}}}\) mà \(OJ = \frac{1}{2}.a;\,\,SO = \sqrt {S{C^2} - C{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Suy ra: \(OH = \frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a.\)

Vậy: \(d(AD,SC) = 2.\frac{{\sqrt {42} }}{{14}}a = \frac{{\sqrt {42} }}{7}.a.\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giớ thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về khoảng cách trong không gian. Các em cần ghi nhớ khái niệm, phương pháp tính khoảng cách giữa các đối tượng đặc biệt là khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳngkhoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Khoảng cách với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247