Hình học 11 Chương 1 Bài 3 Phép đối xứng trục

5 trắc nghiệm 3 bài tập SGK

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ và các dạng toán liên quan đến Phép đối xứng trục. Thông qua các ví dụ minh học có hướng dẫn giải chi tiết các em sẽ dễ dàng nắm được phương pháp giải bài tập ở dạng toán này.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó. Biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’, được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d (hay là phép đối xứng trục) . Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đd.

 

Nhận xét:

  • Đd(M)=M' ⇒ Đd(M')=M.
  • \(M \in d\) ⇒ Đd(M)=M.

2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Ox

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' =  x\\
y' = - y
\end{array} \right.\)

b) Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng d trùng với trục Oy

Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng trục d hay M’=Đd(M)=(x’;y’) thì: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' =  - x\\
y' = y
\end{array} \right.\)

3. Tính chất

a) Tính chất 1

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2:

Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó , biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép dối xứng qua d biến hình H thành chính nó, tức là Đd(H)=H.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho điểm M(1;3). Tìm tọa đô M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục Oy, rồi tìm tọa độ của M’’ là ảnh của M’ qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải:

ĐOy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x =  - 1\\y' = y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1;3).\)

ĐOx(M’)=M’’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = x' =  - 1\\y'' =  - y' =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 1; - 3).\)

 

Ví dụ 2:

Cho đường tròn (C): \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\) Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh ủa đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C), I’ và R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C’).

Khi đó ta có: \(R' = R = 2\) và I’=ĐOx(I).

I’=ĐOx(I)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} = 1\\{y_{I'}} =  - {y_I} =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 4.\)

 

Ví dụ 3:

Cho \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3}.\) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải:

Gọi \(M(x,y) \in d,\) khi đó ĐOy(M)=M’\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y = y'\end{array} \right. \Rightarrow M( - x';y').\)

\(M \in d \Rightarrow \frac{{ - x' - 1}}{2} = \frac{{y' + 2}}{3} \Leftrightarrow 3x' + 2y' + 7 = 0\)

Vậy phương trình của d’ là: \(3x + 2y + 7 = 0.\)

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung trọng tâm của bài Phép đối xứng trục, các em cần nắm vững những khái niệm, tính chất và phương pháp giải bài tập đã được trình bày ở trên. 

Để củng cố bài học, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 3 với những câu hỏi ôn tập, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 11 Chương 1 Bài 3, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài toán từ SGK Hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247