Đại số và Giải tích 11 Chương 2 Bài 3 Nhị thức Niu-tơn

5 trắc nghiệm 6 bài tập SGK 48 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Tóm tắt lý thuyết

1. Nhị thức Newton

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

                  \( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

2. Nhận xét

Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

  • Gồm có \(n + 1\) số hạng
  • Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
  • Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
  • Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
  • Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

3. Hệ quả

Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

  • \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
  • \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)

4. Bài toán

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

 Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

  • Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);
  • Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
  • Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

  • Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);
  • Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);
  • Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số x16 trong khai triền ( x2-2x )10.

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)

Ta chọn: 20 - k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số x16 trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1-3x)n là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải: 

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) ( loại) hoặc n= 5

Đáp số: n= 5

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)

                       \(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\)

\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với\(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em công thức tổng quát của Nhị thức Niu-tơn và các dạng toán liên quan.

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Chương 2 Bài 3 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Đại số và Giải tích 11 Chương 2 Bài 3, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Đại số và Giải tích 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247