Đại số và Giải tích 11 Chương 1 Bài 3 Một số phương trình lượng giác thường gặp

10 trắc nghiệm 6 bài tập SGK 114 hỏi đáp

Nội dung bài Một số phương trình lượng giác thường gặp sẽ giới thiệu đên các em dạng và phương pháp giải các Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác, Phương trình bậc hai đối với sin-cos-tan-cot, Phương trình bậc nhất với sinx và cosx. Thông qua các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải các em sẽ nắm vững được nội dung phần này, tạo nên tảng để giải các phương trình lượng giác từ cơ bản đến nâng cao.

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng \(at + b = 0\) trong đó a,b là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\)và t là một trong các hàm số lượng giác.

Ví dụ: \(2\sin x - 1 = 0\,;\,\,\,c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0;\,\,\,3\tan x - 1 = 0;\,\,\sqrt 3 \cot x + 1 = 0\)

b) Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 

2. Phương trình bậc hai đối với sinx, cosx, tanx, cotx

a) Dạng phương trình

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}x + b\sin x + c = 0\\a{\cos ^2}x + b\cos x + c = 0\\a{\tan ^2}x + b\tan x + c = 0\\a{\cot ^2}x + b\cot x + c = 0\end{array}\)

b) Cách giải

Đặt:

\(t = \sin x{\rm{   (  - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\)

\(\begin{array}{l}t = \cos x{\rm{   ( - 1}} \le {\rm{t}} \le {\rm{1)}}\\t = \tan x\\t = \cot x\end{array}\)

c) Chú ý

  • Nếu a là một số cho trước mà \(\tan \alpha \) xác định thì phương trình tanx = tana có nghiệm x = \(\alpha  + \)kp thoả điều kiện \(\cos x \ne 0\).
  • Phương trình tanP(x) = tanQ(x) thì cần phải chú ý đến điều kiện cosP(x) \(\ne\) 0 và cosQ(x) \(\ne\) 0.

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

a) Dạng phương trình

\(a\sin x + b\cos x = c{\rm{  (1)}}\)

Điều kiện có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

b) Cách giải

  • Cách 1: Chia hai vế của (1) cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \), ta được:

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Vì \({\left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right)^2} = 1\) nên ta đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\\{\cos \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}}\end{array}} \right.\)

Phương trình trở thành:

\(\sin x\sin \varphi  + \cos x\cos \varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \cos \left( {x - \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Đặt \(\cos \alpha  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) ta được phương trình lượng giác cơ bản.

Hoàn toàn tương tự ta cũng có thể đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \varphi  = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\\\sin \varphi  = \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\end{array} \right.\)

Khi đó phương trình trở thành: \({\mathop{\rm sinxcos}\nolimits} \varphi  + cosxsin\varphi  = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \sin \left( {x + \varphi } \right) = \frac{c}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

  • Cách 2:

· Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,{\rm{ k}} \in \mathbb{Z}\) có là nghiệm của (1) không

· Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pi  + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình trở thành:

\(a.\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + b.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = c \Leftrightarrow \left( {b + c} \right){t^2} - 2at + c - b = 0{\rm{  (2)}}\)

Giải (2) theo t, tìm được t thay vào \(t = \tan \frac{x}{2}\) suy ra x

  • Cách 3:

Nếu \(a \ne 0\) chia 2 vế cho a rồi ta đặt \(\tan \alpha  = \frac{b}{a}\)   \(\left( { - \frac{\pi }{2} < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\)

Phương trình trở thành: \(\sin x + \frac{{\sin \alpha }}{{c{\rm{os}}\alpha }}\cos x = \frac{c}{a}\)

\( \Leftrightarrow c{\rm{os}}\alpha \sin x + \sin \alpha \cos x = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha  \Leftrightarrow \sin (x + \alpha ) = \frac{c}{a}c{\rm{os}}\alpha \)

Đặt \(\sin \varphi  = \frac{c}{a}\cos \alpha \) ta được phương trình lượng giác cơ bản \(\sin (x + \alpha ) = \sin \varphi \).

Bài tập minh họa

Ví dụ: 1

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin x - 1 = 0\,.\)

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0.\)

c) \(3\tan x - 1 = 0.\)

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0.\)

e) \(2\cos x - \sin 2x = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2\sin x - 1 = 0\, \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(c{\rm{os}}2x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow c{\rm{os}}2x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \arctan \frac{1}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{C}} \right)\)

 

d) \(\sqrt 3 \cot x + 1 = 0 \Leftrightarrow \cot x = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

e) \(\cos x - \sin 2x = 0 \Leftrightarrow \cos x - 2\sin x\cos x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {1 - 2\sin x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\1 - 2\sin x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\sin x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + l\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + l\pi \end{array} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0\)

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\)

c) \(3\sin {2^2}x + 7\cos 2x - 3 = 0\)

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Hướng dẫn giải:

a) \(2{\sin ^2}x + \sin x - 3 = 0(1)\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (1) trở thành:

\(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\;\left( {nhan} \right)\\t = \frac{3}{2}\;\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với t=1, ta được \(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(co{s^2}x + 3cosx - 1 = 0\left( 2 \right)\)

Đặt \(t = c{\rm{os}}x\), điều kiện \(\left| t \right| \le 1\). Phương trình (2) trở thành:

\({t^2} + 3t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\left( {nhan} \right)\\t = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\) ta được \(c{\rm{os}}x = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \arccos \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right) + 7\cos 2x - 3 = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{\cos ^2}2x - 7\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x\left( {3\cos 2x - 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\3\cos 2x - 7 = 0\end{array} \right.\end{array}\)

*) Giải phương trình:\(\cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

*) Giải phương trình: \(3\cos 2x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{7}{3}\)

Vì \(\frac{7}{3} > 1\) nên phương trình \(3\cos 2x - 7 = 0\) vô nghiệm.

Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

d) \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)

Điều kiện: \(\cos x \ne 0\)  (*)

(3)\( \Leftrightarrow 1 + {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x - 1 + \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow {\tan ^2}x - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\tan x + \sqrt 3  = 0\)

Đặt \(t = \tan x\)

Khi đó phương trình trở thành: \({t^2} - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)t - \sqrt 3  = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với \(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

So sánh với điều kiện (*) suy ra nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \),

\(x = \frac{\pi }{3} + k\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2\)

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \)

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\)

Hướng dẫn giải:

a) \(\sqrt 2 \sin 3x + \sqrt 6 \cos 3x = 2(1)\)

(1)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \sin 3x + \tan \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \sin 3x\cos \frac{\pi }{3} + \sin \frac{\pi }{3}\cos 3x = \sqrt 2 \cos \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{3x + \frac{\pi }{3} = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x =  - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi }\\{3x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (1) là \(x =  - \frac{\pi }{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \frac{{5\pi }}{{36}} + \frac{{k2\pi }}{3}\) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

b) \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\sin x - \cos x = 2 + \sqrt 3 \) (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi \) không là nghiệm của phương trình (2)

Ÿ Xét \(\cos \frac{x}{2} \ne 0\)

Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\). Khi đó \(\sin x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) và \(\cos x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Phương trình (2) trở thành:  \(\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} - \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 3 } \right)2t - 1 + {t^2} = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)t + 3 + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\end{array}\)

+ Với \(t = 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{4} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

+ Với\(t = \sqrt 3  \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = \sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{3} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

Vậy nghiệm của (2) là \(x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \), \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

 

c) \(2\sqrt 2 \left( {\sin x + \cos x} \right)\cos x = 3 + \cos 2x\) (3)

(3)\( \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sin x\cos x + 2\sqrt 2 {\cos ^2}x = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \sqrt 2 \left( {1 + \cos 2x} \right) = 3 + \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin 2x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos 2x = 3 - \sqrt 2 \)

Điều kiện có nghiệm của phương trình: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)

Khi đó: \(2 + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} \ge {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow 5 - 2\sqrt 2  \ge 11 - 6\sqrt 2 \) (không thỏa)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời kết

Trong phạm vi bài học đã có thể giới thiệu đến các em phương pháp giải Một số phương trình lượng giác thường gặp.

Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Đại số và Giải tích 11 Chương 1 Bài 3 với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Đại số và Giải tích 11 Chương 1 Bài 3, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Đại số và Giải tích 11 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản-Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247