Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản - Đại số và Giải tích 11

10 trắc nghiệm 7 bài tập SGK 2 hỏi đáp

Thông qua bài học các em sẽ nắm được các dạng Phương trình lượng gác cơ bảncông thức nghiệm của chúng. Cùng với hệ thống bài tập minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em nắm vững nội dung bài học. Đây là bài toán nền tảng để các em học tiếp những dạng phương trình lượng phức tạp hơn hay giải một số dạng bài tập có liên quan đến lượng giác khác.

Tóm tắt lý thuyết

1. Phương trình sinx= a 

  • Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu \(|a|\leq 1\):
    •  \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
    • \(\sin x = \sin {\beta ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {\beta ^0} + k{360^0}\\ x = {180^0} - {\beta ^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
    • \(\sin x = a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = arc\sin a + k2\pi \\ x = \pi - arc\sin a + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)​
  • Tổng quát: \(\sin f\left( x \right) = \sin g\left( x \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = g\left( x \right) + k2\pi \\ f\left( x \right) = \pi - g\left( x \right) + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)   
  • Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

2. Phương trình cosx= a 

  • Nếu \(|a|>1\): Phương trình vô nghiệm.  
  • Nếu \(|a|\leq 1\):
    • \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)
    • \(\cos x = \cos {\beta ^0} \Leftrightarrow x = \pm {\beta ^0} + k{360^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
    • \(\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \,arcc{\rm{os}}a + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • Tổng quát: \(\cos f\left( x \right) =\cos g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = \pm g\left( x \right) + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
  • Các trường hợp đặc biệt:

\(\begin{array}{l} \oplus \,\,\,\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \,\,\,\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \end{array}\)

3. Phương trình tanx= a 

\(\begin{array}{l} \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}\alpha \Leftrightarrow \,x\,{\rm{ = }}\,\alpha + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \tan x = {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{an}}{\beta ^0} \Leftrightarrow \,x{\rm{ = }}{\beta ^0} + k{\rm{18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \tan x = a \Leftrightarrow x{\rm{ = }}\arctan a\, + k\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

  • Tổng quát: \(\tan f\left( x \right) = \tan g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

4. Phương trình cotx=a 

\(\begin{array}{l} \oplus \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,\alpha \,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \oplus \cot x = \cot {\beta ^0} \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}\,{\beta ^0}{\rm{ + }}\,{\rm{k18}}{{\rm{0}}^0}\,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\\ \oplus \cot x = a \Leftrightarrow {\rm{x}}\,\,{\rm{ = }}{\mathop{\rm arc}\nolimits} \cot \,a\,{\rm{ + }}\,{\rm{k}}\pi \,\,\,\,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right) \end{array}\)

  • Tổng quát: \(\cot f\left( x \right) = \cot g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\).

b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}}\).

c) \(\sin 3x = \frac{1}{2}\).

d) \(\sin x = \frac{2}{3}\).

Lời giải:

a) \(\sin \left( {\frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)=0\Leftrightarrow \frac{{2x}}{3} - \frac{\pi }{3} = k\pi \Leftrightarrow \,\frac{{2x}}{3} = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\), \(k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \(\,x = \frac{\pi }{2} + k\frac{{3\pi }}{2}\),  \(k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\sin x = \sin \frac{\pi }{{12}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \pi - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\ x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{11\pi }{{12}} + k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.\) 

c) \(\sin 3x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\ 3x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\ x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{2\pi }}{3}, k \in \mathbb{Z}\).

d) \(\sin x = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in\mathbb{Z} } \right)\)

Vậy phương trình có các nghiệm là \(x = \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}\) và \(x = \pi - \arcsin \frac{2}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\).

b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải: 

a) \(\cos \left( {\frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\ \frac{{3x}}{2} - \frac{\pi }{4} = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}\\ x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3} \end{array} \right.{\mkern 1mu} ,{\mkern 1mu} k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = \frac{{11\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - \frac{{5\pi }}{{18}} + k\frac{{4\pi }}{3}}, k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {x + {{45}^0}} \right) = c{\rm{os}}{45^0}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x + {45^0} = {45^0} + k{360^0}\\ x + {45^0} = - {45^0} + k{360^0} \end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = {45^0} + k{360^0}\\ x = - {90^0} + k{360^0} \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy phương trình có các nghiệm là: \({x = {{45}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}\) và \({x = - {{90}^0} + k{{360}^0}}, k \in \mathbb{Z}.\)

Ví dụ 3:

Giải các phương trình sau:

a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3}\).

b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải: 

a) \(\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

b) \(\tan (x - {15^0}) = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow\) \(\tan (x - {15^0}) = \tan {30^0}\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là \(x = {45^0} + k{180^0} , k \in \mathbb{Z}.\)

ví dụ 4:

Giải các phương trình sau:

a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\).

b) \(\cot 4x = - 3.\)

c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Lời giải: 

a) \(\cot 4x = \,\cot \frac{{2\pi }}{7}\) \(\Leftrightarrow 4x = \frac{{2\pi }}{7}\, + \,k\pi \Leftrightarrow \,x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4},\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{{14}} + \,k\frac{\pi }{4};\,k \in \mathbb{Z}.\)

b) \(\cot 4x = - 3 \Leftrightarrow 4x = \arctan \left( { - 3} \right) + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{1}{4}\arctan \left( { - 3} \right) + k\frac{\pi }{4},\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

c) \(\cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \cot \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cot \frac{\pi }{6}\)

\(\Leftrightarrow 2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k\pi \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{3} + k\pi\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Vậy các nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2},\left( {k \in\mathbb{Z} } \right).\)

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em công thức nghiệm của các Phương trình lượng giác cơ bản, các em cần ghi nhớ những công thức này. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Phương trình lượng giác cơ bản với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247