Hình học 11 Chương 1 Bài 2 Phép tịnh tiến

5 trắc nghiệm 4 bài tập SGK 1 hỏi đáp

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm, tính chất, biểu thức tọa độ các dạng toán của Phép tịnh tiến. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ nắm được các phương pháp giải bài tập. Để học tốt hơn, các em cần ôn lại khái niệm vectơ đã học ở Hình học 10.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng, cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) . Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .\)

Ký hiệu: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M'\) hoặc \({T_{\overrightarrow v }}:M \to M'\).\(\)\(\)\(\)

2.Các tính chất của phép tịnh tiến

a) Tính chất 1

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN=M’N’.

b) Tính chất 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .

3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Giả sử cho \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) và một điểm M(x;y).

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)  biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = y + b\end{array} \right.\)

4. Một số dạng bài tập và phương pháp giải

a) Dạng 1

Cho điểm \(A\left( {x;y} \right)\) tìm ảnh \(A'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Ta có: \({\rm{A'  =  }}{{\rm{T}}_{\overrightarrow v }}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v  \Leftrightarrow (x' - x;y' - y) = ({x_0};{y_0}) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' - x = {x_0}\\y' - y = {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + {x_0}\\y' = y + {y_0}\end{array} \right.\)  

Vậy: \(A'\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\).

b) Dạng 2

Cho đường thẳng\(d:ax + by + c = 0\) tìm ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Gọi \(d'\) là ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

  • Phương pháp giải 1:

Với \(M = \left( {x;y} \right) \in d\) ta có \({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép \({T_{\overrightarrow v }}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + {x_0}\\y' = y + {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - {x_0}\\y = y' - {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có \(d':a\left( {x' - {x_0}} \right) + b\left( {y' - {y_0}} \right) + c = 0 \Leftrightarrow ax' + by' - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Vậy phương trình của d’ là : \(ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

  • Phương pháp giải 2:

Ta có d và d’ song song hoặc trùng nhau, vậy d’ có một vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Ta tìm 1 điểm thuộc d’.

Ta có \(M\left( {0; - \frac{c}{b}} \right) \in d\), ảnh \(M'\left( {x';y'} \right) \in d'\), ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + {x_0} = {x_0}\\y' =  - \frac{c}{b} + {y_0}\end{array} \right.\)

Phương trình của d’ là : \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y + \frac{c}{b} - {y_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u  =  (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} {\rm{ }}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \({\rm{A' =  }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(A) = (5;4){\rm{ }}{\rm{, B' =  }}{{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}(B) = (4;2){\rm{ }} \Rightarrow {\rm{AB  = }}\left| {\overrightarrow {{\rm{AB}}} } \right|\, = \sqrt 5 ,{\rm{ A'B'  = }} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} } \right|\, = \sqrt 5 {\rm{ }}{\rm{.}}\)

 

Ví dụ 2:

Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {5;1} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có một VTCP là: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {AB}  = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}'}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (4;5)\)

Gọi \({T_{\overrightarrow v }}(A) = A' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A'}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A' \in d' \Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

 

Ví dụ 3:

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( - 1;2).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

 Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \in d'\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 1\\y = y' - 2\end{array} \right. \Rightarrow M(x' + 1;y' - 2) \in d\\ \Rightarrow x' - 2y' + 8 = 0.\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y + 8 = 0.\)

Cách 2:

({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow d'//d \Rightarrow d':x - 2y + c = 0\)

Chọn \(M( - 3;0) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 3 - 1 =  - 4\\y' = 0 + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 4;2).\)

Mà \(M' \in d' \Rightarrow  - 4 - 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d':x - 2y + 8 = 0.\)

 

Ví dụ 4:

Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4.\) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right).\)

Hướng dẫn giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R=2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C' \Rightarrow {R_{C'}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + ( - 2) = 0\\{y_{I'}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow I'(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là: \({(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Cách 2:

Gọi: \({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M'(x';y') \in (C') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x' + 2;y' - 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{'^2} + {(y' - 3)^2} = 4 \Rightarrow (C'):{x^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

 

Ví dụ 5:

Cho \(\,d:\,2x - 3y + 3 = 0;\,{d_1}:2x - 3y - 5 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \)có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Hướng dẫn giải:

Vì \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {\rm{w}}  = k.\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2k; - 3k} \right)\)

Chọn \(M(0;1) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow {\rm{w}} }}(M) = M' \in {d_1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = 2k\\{y_{M'}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow {\rm{w}} }} =  - 3k + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'(2k; - 3k + 1).\)

\(M' \in {d_1} \Rightarrow 2.(2k) - 3.( - 3k + 1) - 5 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{8}{{13}} \Rightarrow \overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {\frac{{16}}{{13}}; - \frac{{24}}{{13}}} \right).\)

Lời kết

Nội dung bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung trọng tâm của bài Phép tịnh tiến, các em cần nắm vững những khái niệm, tính chất và phương pháp giải bài tập đã được trình bày ở trên.

Để củng cố bài học, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 11 Chương 1 Bài 2 với những câu hỏi ôn tập, bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi đáp Hình học 11 Chương 1 Bài 2, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 11 Chương 1 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài toán từ SGK Hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247