Hình học 11 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Bên cạnh đó là các ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành các kĩ năng giải bài tập liên quan đến tính góc, chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ.

Tóm tắt lý thuyết

1. Góc giữa hai vectơ

Cho \(\vec u\) và \(\vec v\) là hai vectơ trong không gian. Từ một điểm A bất kì vẽ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v\). Khi đó ta gọi góc \(\widehat {BAC}(0 \le \widehat {BAC} \le {180^0})\) là góc giữa hai vecto vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\), kí hiệu là \(\left ( \vec u ;\vec v \right )\). Ta có: \(\left ( \vec u ;\vec v \right )=\widehat {BAC}\).

Góc giữa hai vecto

2. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) đều khác vectơ-không là một số được kí hiệu là \(\vec u .\vec v\) xác dịnh bởi:

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\)

Nếu \(\vec u= \vec0\) hoặc \(\vec v= \vec0\) thì ta quy ước \(\vec u.\vec v=0.\)

b) Tính chất tích vô hướng của hai vectơ

Với ba vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c\) trong không gian và với mọi số k ta có:

  • \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow a\) (tính chất giao hoán).
  • \(\overrightarrow a (\overrightarrow b + \overrightarrow c ) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c\) (tính chất phân phối).
  • \((k.\overrightarrow a ).\overrightarrow b = k.(\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \overrightarrow a .k\overrightarrow b .\)
  • \({\overrightarrow a ^2} \ge 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = \overrightarrow 0.\)

c) Ứng dụng của tích vô hướng

Xác định góc giữa hai vectơ \(\vec u\) và \(\vec v\) bằng \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v )\) theo công thức: \(c{\rm{os(}}\overrightarrow {\rm{u}} .\overrightarrow v ) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}}\).      

3. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \(\overrightarrow a\) song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Vecto chỉ phương của đường thẳng

Nếu \(\overrightarrow a\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \(k\overrightarrow a\) với \(k \ne 0\) cũng là một vectơ chỉ phương của d.

Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn xác định được nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a\) của d.

4. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với a và b.

góc giữa hai đường thẳng

5. Hai đường thẳng vuông góc

a) Định nghĩa

Hai đường thẳng a và b gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. Ta kí hiệu là: \(b \bot a\) hoặc \(a \bot b.\)

b) Tính chất

  • Nếu \(\vec u\) và \(\vec v\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì: \(a \bot b \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = 0.\)
  • Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
  • Hai đường thẳng vuông góc nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây:

a) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\)

c) \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\).

Hướng dẫn giải:

Hình lập phương ABCD.EFGH

a) Vì EG // AC nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {AB}\) và \(\overrightarrow {AC}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^0}.\)

b)  Vì AB // DG nên góc giữa \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\) cũng bằng góc giữa \(\overrightarrow {DC}\) và \(\overrightarrow {DH}\)

Vậy \(\left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right) = {45^0}.\)

Ví dụ 2:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB =SC và có \(\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\)

Chứng minh rằng: \(SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Hướng dẫn giải:

Xét các tích vô hướng: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .(\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} ) = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SC} } \right|.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left| {\overrightarrow {SA} } \right|.\left| {\overrightarrow {SB} } \right|c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\)

Theo giá thuyết: \(\left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right|\)

Và: \(c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\)

Vậy: \(SA \bot BC.\)

Chứng minh tương tự ta có: \(SB\bot AC, SC \bot AB.\)

Ví dụ 3:

Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\)  

Và: \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\)  

Do đó: \(2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\)  

Vậy: \(2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right).\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Hay \(\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\) Tức là: \(PQ \bot AB.\)

Ví dụ 4:

Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\).

a) Chứng minh rằng AB vuông góc CD.

b) Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \(AB \bot IJ.\)  

Hướng dẫn giải:

Tứ diện ABCD

a) Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC \end{array}\)

Mặt khác ta có: \(AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\)

Nên: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos BAD - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos BAC = 0\)

Vậy AB vuông góc với CD.

b) ) Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có: \(\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|\cos {{60}^0}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right) = 0 \end{array}\)

Vậy AB và IJ vuông góc nhau.

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về tích vô hướng của hai vectơ, hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247