Đại số và Giải tích 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

7 bài tập SGK 1 hỏi đáp

Đạo hàm là khái niệm quan trọng bậc nhất của Giải tích học, nó xuất hiện trong hầu hết các dạng toán ở phân môn Giải tích trong chương trình phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống. Nội dung bài học sẽ bước đầu giúp các em tìm hiểu về khái niệmý nghĩa của đạo hàm cùng với các dạng toán tính đạo hàm bằng cách sử dụng định nghĩa, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi kèm là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp làm bài.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

a) Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\)và \(x_0 \in (a;b)\), đạo hàm của hàm số tại điểm \(x_0\) là: \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}.\)

b) Chú ý

Nếu kí hiệu \(\Delta x = x - {x_0};\,\,\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})\) thì:

\(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) thì liên tục tại điểm đó.

Để chứng minh hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x_0\) ta thực hiện như sau:

  • Chứng minh \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\) không tồn tại.
  • Hoặc chứng minh hàm số không liên tục tại \(x_0.\)

c) Các bước tính đạo hàm bằng định nghĩa

  • Tính \(\Delta y = f({x_0} + \Delta x) - f({x_0}) = f(x) - f({x_0})\)
  • Lập tỷ số: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)
  • Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Ý nghĩa hình học

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị (C):

  • \(f'(x_0)\) là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị (C) của hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C).\)
  • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là:

\(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Các bước viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C):\)

Bước 1: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 2: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại \(M_0\) là \(k=f'(x_0)\)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là: \(y = f'({x_0}).(x - {x_0}) + {y_0}\)

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) hàm số y=f(x) khi biết hệ số k, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C).

Bước 2: Tính \(f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{ x \to x_0} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}.\)

Bước 3: Giải phương trình \(k=f'(x_0)\) tìm \(x_0\), rồi tìm \(y_0=f(x_0).\)

Bước 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k là: \(y = k(x - {x_0}) + {y_0}.\)

b) Ý nghĩa vật lý

  • Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: \(s=s(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là \(v(t_0)=s'(t_0).\)
  • Cướng độ tức thời của điện lượng \(Q=Q(t)\) tại thời điểm \(t_0\) là: \(I(t_0)=Q'(t_0).\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm các hàm số sau:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\) tại \(x_0=-1.\)

b) \(f(x)=sinx\) tại \(x_0=\frac{\pi}{6}.\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f(x)=2x^2+3x+1\)

\(\Delta x = x + 1 \Rightarrow x = - 1 + \Delta x\) và \(\Delta y = f( - 1 + \Delta x) - f( - 1) = 2{\left( {\Delta x} \right)^2} - \Delta x\)

Vậy: \(f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2{{\left( {\Delta x} \right)}^2} - \Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2\Delta x - 1} \right) = - 1.\)

b) \(f(x)=sinx\) 

\(\Delta x = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = \frac{\pi }{6} + \Delta x\)

\(\Delta y = f\left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - f\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{6} + \Delta x} \right) - \sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)\)

\(f'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\Delta x}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \cos \left( {\frac{\pi }{6} + \frac{{\Delta x}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sin \left( {\frac{{\Delta x}}{2}} \right)}}{{\frac{{\Delta x}}{2}}}\\ = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right).1 = \cos \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}. \end{array}\)

c) \(f(x) = \sqrt {2x - 1}\) với \(x>\frac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{2\Delta x}}{{\left( {\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} } \right).\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{2}{{\sqrt {2(x + \Delta x) - 1} - \sqrt {2x - 1} }} = \frac{2}{{\sqrt {2x - 1} }}. \end{array}\)

Ví dụ 2:

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {(x - 1)^2}\,khi\,\,x \ge 0\\ {(x + 1)^2}\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right..\) Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x=0 nhưng không có đạo hàm tại x=0.

Hướng dẫn giải:

Chứng minh hàm số liên tục tại x=0:

\(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {(x - 1)^2} = 1 = f(0)\\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {(x + 1)^2} = 1 = f(0) \end{array}\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = f(0)\) nên hàm số liên tục tại x=0.

Chứng minh hàm số không có đạo hàm tại x=0:

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {\Delta x - 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \left( {\Delta x - 2} \right) = - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{{{\left( {\Delta x + 1} \right)}^2} - 1}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \left( {\Delta x + 2} \right) = 2\)

Suy ra: \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}} \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\)

Nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {\Delta x} \right) - f(0)}}{{\Delta x}}\).

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x=0.

Ví dụ 3:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại điểm (-1;2).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số \(y=x^2-2x+3\) biết:

i) Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(4x-2y+5=0.\)

ii) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x+4y=0.\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\(\begin{array}{l} f'({x_0}) = f'( - 1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 4}}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} ({x^2} - 4x + 4) = 9. \end{array}\)

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;-2) là k=f'(-1)=9.

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (-1;2) là: \(y = 9(x + 1) - 2 = 9x + 7.\)

b) Gọi \(M_0(x_0;y_0) \in (C)\) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số \(y=x^2-2x+3\):

\(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} - 2(x + \Delta x) + 3} \right] - \left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}{{\Delta x}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\left( {2x + \Delta x} \right).\Delta x - 2.\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {2x + \Delta x - 2} \right) = 2x - 2.\)

i) Đường thẳng \(4x - 2y + 5 = 0 \Leftrightarrow y = 2x + \frac{5}{2}\) có hệ số góc k'=2.

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x-2y+5=0 nên có hệ số góc k=2.

Ta có: \(f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 2 \Leftrightarrow {x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = f(2) = 3.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 2(x - 2) + 3 \Rightarrow y = 2x - 1.\)

ii) Đường thẳng \(x + 4y = 0 \Leftrightarrow y = - \frac{1}{4}x\) có hệ số góc \(k'=-\frac{1}{4}.\)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến. Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x+4y=0 nên: \(k.k' = - 1 \Rightarrow k = 4.\)

Ta có: \(f'({x_0}) = 4 \Leftrightarrow 2{x_0} - 2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = f(3) = 6.\)

Vậy phương trình tiếp tuyến là: \(y = 4(x - 3) + 6 \Rightarrow y = 4x - 6.\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất của bài học Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247