Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2019 Trường THPT Thị xã Quảng Trị

1. Giải phương trình: \({\sin ^2}3x\cos 2x + {\sin ^2}x = 0.\) 

2. Cho \(x_1\) và \(x_2\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} - 3x + a = 0\), \(x_3\) và \(x_4\) là hai nghiệm của phương trình: \({x^2} - 12x + b = 0\). Biết rằng \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm a, b.

^​1. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn: \(5 \le k \le 2014\).

Chứng minh rằng: \(C_5^0C_{2014}^k + C_5^1C_{2014}^{k - 1} + ... + C_5^5C_{2014}^{k - 5} = C_{2019}^k\).

2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

 \(m\left( {\sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {1 - {x^2}}  + 2} \right) = 2\sqrt {1 - {x^4}}  + \sqrt {1 + {x^2}}  - \sqrt {1 - {x^2}} \).

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = \sin 1\,;\,\,\,{u_n} = {u_{n - 1}} + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\), với \(\forall n \in N,\,\,n \ge 2\).

Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC đều cạnh bằng \(a\) và tam giác BCD cân tại D với \(DC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

1. Chứng minh rằng: \(AD \bot BC\).

2. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, tính cosin góc giữa hai đường thẳng AG và CD, biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) bằng 30⁰.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(2;1), B(- 1;2), trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng \(x + y - 2 = 0\). Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng \(\frac{{27}}{2}\).

Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn: \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\). Chứng minh rằng:

\(\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}\). Đẳng thức xảy ra khi nào?