Đề thi thử THPT Quốc Gia năm 2015 môn Toán - THPT Nghi Sơn

1. (HS tự làm)

2. 

\(y'=6x^{2}-6x=6(x-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\geq -\frac{3}{2}\)

Tiếp tuyến có hệ số góc Min bằng \(-\frac{3}{2}\) khi x= \(x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2}\)

PTTT: \(y=-\frac{3}{2}(x-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}\)

ĐK: \(\cos x\neq 0\)

(1) \(\Leftrightarrow \cos 2x+\frac{2\sin ^{2}x}{\cos x}-\cos x=2\)

\(\Leftrightarrow \frac{2\sin ^{2}x}{\cos x}-\cos x=1+2\sin ^{2}x\)

\(\Leftrightarrow 2\sin ^{2}x(\frac{1}{\cos x}-1)=1+\cos x\)

\(\Leftrightarrow 2(1-\cos ^{2}x)(1-\cos x)=(1+\cos x)\cos x\)

\(\Leftrightarrow (1+\cos x) \lbrack2(1-\cos x)^{2} -\cos x=0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=-1\\ 2\cos ^{2}x-5\cos x+2=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} \cos x=-1\\\cos x=\frac{1}{2} \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\pi +k\pi \\x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi \end{matrix}\)

Đk: \(x> \frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2\log _{2}(2x-1)+\log _{\frac{1}{2}}(3x+1)\leq 3\)

\(\Leftrightarrow \log _{2}(2x-1)^{2}-\log _{2}(3x+1)\leq 3\)

\(\Leftrightarrow \log _{2}\frac{(2x-1)^{2}}{3x+1}\leq 3\Leftrightarrow 0< \frac{(2x-1)^{2}}{3x+1}\leq 8\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x> \frac{1}{2}\\\frac{4x^{2}-28x-7}{3x+1}\leq 0 \end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x\in (\frac{1}{2};\frac{7+2\sqrt{14}}{2})\)

Ta có: \((\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-3x^{2})^{10}=\sum_{0}^{10}C^{k}_{10}(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{10-k}(-3x^{2})^{k}\)

\(T_{k+1}=C^{k}_{10}(\frac{1}{\sqrt[3]{x}})^{10-k}(-3x^{2})^{k}=C^{k}_{10}(-3)^{k}(x)^{-\frac{1}{3}(10-k)+2k}\)

Số hạng chứa \(x^{6}\) khi \(-\frac{1}{3}(10-k)+2k=6\Leftrightarrow k=4\)

Hệ số cần tìm bằng \(C^{4}_{10}3^{4}\)

\(\begin{Bmatrix}\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! (SAC)\perp (ABCD) \\(SBD)\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp (ABCD)\Rightarrow SO\perp BC \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! (SAC)\perp (SBD) \end{matrix}\)

Kẻ \(OH\perp BC\Rightarrow BC\perp (SOK)\Rightarrow ((SBC),(ABCD))=\angle SKO=60^{\circ}\)

\(S_{ABCD}=2S_{ABC}=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{2}\)

\(OK=\frac{a\sqrt{3}}{4}\Rightarrow SO=\frac{3a}{4}\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{\sqrt{3}a^{3}}{8}\) (ĐVDT)

\(AO\cap (SBC)=C\Rightarrow d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))\)

\(\left.\begin{matrix}(SBC)\perp (SOK) \\(SBC)\cap (SOK)=SK \\OH\perp SK \end{matrix}\right\}\Rightarrow OH\perp (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC))=OH\)

\(\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OK^{2}}+\frac{1}{OS^{2}}\Rightarrow OH=\frac{3a}{8}\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{3a}{4}\)

\(\Rightarrow d(A,(SBC))=\frac{3a}{4}\)

\(A=(d)\cap (P)\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=1+t\\\! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y=-2+2t \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=1-t \\2x+y+z+2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(0;-4;2)\)

\(M(1;-2;1)\in (d)\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

\((MH)\left\{\begin{matrix} quaM(1;-2;1)\\vtcp(2;1;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow (MH)\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\y=-2+t \\z=1+t \end{matrix}\right.\)

\(H=MH\cap (P)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=1+2t\\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! y=-2+t \\\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!z=1+t \\2x+y+z+2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow H(0;-\frac{5}{2};\frac{1}{2})\)

\((d')\left\{\begin{matrix} quaA(0;-4;2)\\vtcp\overrightarrow{AH}(0;\frac{3}{2};\frac{-3}{2}) \end{matrix}\right.\Rightarrow (d')\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=0\\y=-4+t \\\! \! \! \! z=2-t \end{matrix}\right.\)

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao của AD và BC, E là giao của BH và AC

M là giao của AM và BC nên \(M(\frac{7}{2};-\frac{1}{2})\)

AD vuông góc BC và đi qua D nên có phương trình x + y - 2 = 0

A là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 3x+5y-8=0\\x+y-2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(1;1)\)

K là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} x-y-4=0\\x+y-2=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow K(3;-1)\)

Tứ giác HKCE nội tiếp nên \(\angle BHK =\angle KCE,\) mà \(\angle BDA =\angle KCE\)

Suy ra \(\angle BHK =\angle BDA\) nên K là trung điểm của HD nên H(2;4)

Vì B thuộc BC suy ra B(t;t-4) suy ra C(7-t;3-t)

Mặt khác HB vuông góc với AC nên \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} t=7(l)\\t=2 \end{matrix}\)

\(\Rightarrow B(2;-2),C(5;1)\)

\(\Rightarrow AB: 3x+y-4=0;\; AC:y-1=0\)

Đk: \(\left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x\geq -\frac{1}{3}\\6-4y-y^{2}\geq 0 \end{matrix}\right.\)

Xét phương trình \(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\; \; \; (1)\)

\(2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\)

\(\Leftrightarrow 2(y+2)^{3}+(y+2)=2(x+4)\sqrt{x+4}+\sqrt{x+4}\)

\(f(t)=2t^{3}+t\Leftrightarrow f'(t)=6t^{2}+1> 0\)

\((1)\Leftrightarrow f(y+2)=f(\sqrt{x+4})\Leftrightarrow y+2=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq -2\\x=4y+y^{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2y^{3}+12y^{2}+25y+18=(2x+9)\sqrt{x+4}\\\sqrt{3x+1}+3x^{2}-14x-8=\sqrt{6-4y-y^{2}} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^{2}-14x-8=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\(\sqrt{3x+1}-4)-(\sqrt{6-x}-1)+3x^{2}-14x-5=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! x=4y+y^{2}\\\frac{3(x-5)}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{x-5}{(\sqrt{6-x-1})}+(3x+1)=0 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=4y+y^{2}\\(x-5)\left [ \frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1) \right ]=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=5\\y=1 \end{matrix}\right.\)

\(\frac{3}{(\sqrt{3x+1}-4)}+\frac{1}{(\sqrt{6-x}-1)}+(3x+1)> 0,\forall x\geq -\frac{1}{3}\)

Vậy hệ có nghiệm x = 5; y = 1

Ta có: \(\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{2}{1+\sqrt{yz}}\Rightarrow P\geq \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}=\frac{1}{1+\frac{1}{yz}}+\frac{2}{1+\sqrt{yz}}\)

Đặt \(t=\sqrt{yz}\Rightarrow 1\leq t=\frac{1}{\sqrt{x}}\leq 2\Rightarrow P=f(t)=\frac{t^{2}}{t^{2}+1}+\frac{2}{1+t}\)

\(f'(t)=\frac{2t}{(t^{2}+1)^{2}}-\frac{2}{(1+t)^{2}}\leq 0\)

\(f'(t)\leq f(2)=\frac{22}{15}\)

Suy ra Min \(P=\frac{22}{15}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4};y=z=2\)