Đề thi THPT Quốc gia năm 2016 môn Toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Thời gian làm bài: 180 phút Số lượng câu hỏi: 0 câu Số lần thi: 65

Câu hỏi trắc nghiệm (10 câu):

 

  • Câu 1:

    1. Cho số phức \(z=1+2i\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w=2z+\bar{z}\)
    2. Cho \(log_2x=\sqrt{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A=log_2x^2+log_{\frac{1}{2}}x^2+log_4x\)

    • 1.
      Ta có
      w=(1+2i)+1-2i=+2i
      Vậy phần thực của w là và phần ảo của w là .
      2.
      Ta có
      A=log_2x-3log_2x+log_2x
      =log_2x=\frac{\sqrt{2}}{2}
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 2:

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^4+2x^2\)

    • Tập xác định: D = R
      Sự biến thiên
      - Chiều biến thiên:
      y'=x^3+x
      y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1 \end{matrix};y'>0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<-1\\ 0<x<1 \end{matrix};y'<0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<x<0\\ x>1 \end{matrix}
      Hàm số đồng biến trên các khoảng (-\infty ;-1) và (0;1)
      Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+\infty )
      - Cực trị:
      Hàm số đạt cực đại tại x=\pm 1, y_{CD}= 

      Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, y_{CT}= 
      - Giới hạn
      \lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty
      - Bảng biến thiên

      Đồ thị

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 3:

    Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+mx-1\) có hai điểm cực trị. Gọi \(x_1,x_2\) là hai điểm cực trị đó, tìm m để \(x^2_1+x_2^2=3\) .

    • Hàm số đã cho xác định với mọi x \in R
      Ta có
      f'(x)=x^2-x+m
      Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình 3x^2-x+m=0 có hai nghiệm phân biệt, tức là \Delta '>0\Leftrightarrow m< 
      Ta có
      x^2_1+x^2_2=3\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-x_1.x_2=3\Leftrightarrow-2. \frac{m}{3}=3
      \Leftrightarrow m=  (thỏa mãn)
      Vậy m= 
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 4:

    Tính tích phân \(I=\int_{0}^{3}3x(x+\sqrt{x^2+16})dx\)

    • Ta có I=\int_{0}^{3}x^2dx+\int_{0}^{3}x\sqrt{x^2+16}dx
      I_1=\int_{0}^{3}x^2dx=x^3\bigg|^3_0= 
      I_2=\int_{0}^{3}3x\sqrt{x^2+16}dx
      Đặt t=x^2+16, ta có t'=x;t(0)=16,t(3)=25
      Do đó I_2=\int_{16}^{25}\sqrt{t}dt
      =t\sqrt{t}\bigg|^{25}_{16}= 
      Vậy I=I_1+I_2= 
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 5:

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2;-2), B(1;0;1) và C(2;-1;3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc cả A trên đường thẳng BC.

    • Ta có \overrightarrow{BC}=(; -1; )

      Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là x-y+2z+=0
      Đường thẳng BC có phương trình 
      Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Ta có H=(P)\cap BC
      - Vì H \in BC nên H(1+t; -t; 1+2t)
      - Vì H \in (P) nên (1+t)-(-t)+2(1+2t)+3=0\Leftrightarrow t= 
      Vậy H(0;1; )
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 6:

    1. Giải phương trình: \(2sin^2x+7sinx-4=0\)

    2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.

    • 1.
      Ta có 

      sinx= : Vô nghiệm
      sinx= \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k2\pi \end{matrix}
      2.
      Không gian mẫu \Omega có số phần tử là n(\Omega )=A^3_{10}= 
      Gọi E là biến cố: "B mở được phòng học". Ta có
      E=\bigg \{ (0;1;9),(0;2;8),(0;3;7);(0;4;),(1;2;7),(1;3;6),(1;4;5),(2,3,5) \bigg \}
      Do đó n(E)=
      Vậy P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}= 
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 7:

    Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc với B’C.

    • Gọi H là trung điểm của AC, ta có A'H\perp (ABC)\Rightarrow A'BH=^0
      Ta có BH=AC= và S_\Delta =a^2
      Tam giác A'HB vuông cân tại H, suy ra A'H = BH = a
      Do đó V_{ABC.A'B'C'}=A'H.S_{\Delta ABC}=a^3
      Gọi I là giao điểm của A'B và AB', ta có I là trung điểm của A'B và AB'. Suy ra HI\perp A'B
      Mặt khác HI là đường trung bình của \Delta AB'C nên HI//B'C. Do đó A'B\perp B'C
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 8:

     Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD và P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC. Biết đường thẳng AC có phương trình x – y – 1 = 0, M(0; 4), N(2; 2) và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm P, A và B.


    • Phương trình MN: x + y - = 0
      Tọa độ P là nghiệm của hệ
      \left\{\begin{matrix} x+y-4=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow P \bigg (;\frac{3}{2} \bigg)
      Vì AM song song với DC và các điểm A, B, M, N cùng thuộc một đường tròn nên ta có
      \widehat{PAM}=\widehat{PCD}=\widehat{ABD}=\widehat{AMP}
      Suy ra PA = PM
      Vì A\in AC: x-y-=0 nên A(a;a-1), a <
      Ta có \left ( a-\frac{5}{2} \right )^2+\left ( a-\frac{5}{2} \right )^2= \left ( \frac{5}{2} \right )^2+\left ( \frac{5}{2} \right )^2\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=0\\ a=5 \end{matrix}\Rightarrow A(0;)
      Đường thẳng BD đi qua N và vuông góc với AN nên có phương trình là 2x + 3y - = 0
      Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AM nên có phương trình là y - = 0
      Tọa độ B là nghiệm của hệ \left\{\begin{matrix} 2x+3y-10=0\\ y-4=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-1;)

      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 9:

    Giải phương trình: \(\small 3log_3^2(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})+2log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}).log_3(9x^2)+ \left ( 1- log_{\frac{1}{3}}x\right )=0\)

    • Điều kiện 0<x\leq 
      Khi đó phương trình đã cho tương đương với
      \small 3log^2_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-\small log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ).log_3(3x)+log_3^2(3x)=0
      \Leftrightarrow \left [ log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x) \right ] \left [ 3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)\right ]=0
      log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)=0
      \Leftrightarrow \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} = x
      \Leftrightarrow 4+2\sqrt{4-x^2}=9x^2\Leftrightarrow 2\sqrt{4-x^2}=9x^2- 
      \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2\geq \frac{4}{9}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ 81x^4-68x^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2= 
      Kết hợp với điều kiện 0<x\leq 2, ta có nghiệm x=\frac{2\sqrt{17}}{9}
      3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x)=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3=3x(1)
      Vì 0<x\leq 2 nên 3x\leq 
      Mặt khác \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^2=+2\sqrt{4-x^2}\geq 4\Rightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3\geq 
      Do đó phương trình (1) vô nghiệm 
      Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=\frac{2\sqrt{17}}{9}
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

  • Câu 10:

     Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\)

    1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.

    2. Tìm m để \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq m\) đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)

    • 1.
      Điều kiện x\geq 2,y\geq 
      Ta có (*)\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}) (**)
      2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\leq x+y+1 nên từ (**) suy ra (x+y+1)^2\leq(x+y+1)
      \Rightarrow x+y+1\leq 8\Rightarrow x+y\leq 
      Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng
      2.
      Vì 2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\geq 0nên từ (**) suy ra (x+y+1)^2\leq 4(x+y+1)
      \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1\leq 0\\ x+y+1\geq 4 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1=0 (vi \ x+y+1\geq 0)\\ x+y+1\geq 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}
      \Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y=-1\\ x+y\geq 3 \end{matrix}
      Vì x^2\geq 2x do (x\geq 2),y^2+1\geq 2y nên x^2+y^2+1\geq(x+y)
      Do đó 
      3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq 3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-6(x+y)+ 
      Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc 3\leq t\leq 7
      Xét hàm số f(t)=3^{t-4}+(t+1).2^{7-t}-6t+3. Ta có f(-1)=
      f'(t)=3^{t-4}ln3+2^{7-t}-(t+1)2^{7-t}ln2-6
      f''(t)=3^{t-4}ln^23+\left [ (t+1)ln2-2 \right ]2^{7-t}ln2> 0, \forall t\notin [3;7]
      Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất t_0\in (3;7)
      f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất t_0\in (3;7)
      Bảng biến thiên

      Suy ra 3^{x+y+4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq \frac{148}{3} với mọi x, y thỏa mãn (*)
      Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
      Vậy m\geq 
      Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
      Ghi chú. Dấu +\infty  được ghi là +vc; dấu -\infty  được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
      = = = = = = = =

TRA CỨU CÂU HỎI

Nhập ID câu hỏi: