Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a hình chiếu vuông góc của A’ xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (AA'C'C) tạo với đáy một góc bằng 45 độ

Gọi H là trung điểm \(AB{\rm{ }} \Rightarrow {\rm{ }}A'H \bot \left( {ABC} \right)\)

Vẽ \(HK\perp AC\) tại K (1)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l} AC \bot HK\\ AC \bot A'H \end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (A'HK) \Rightarrow A'K \bot AC\) (2)

 (1) (2) suy ra: \(\widehat {\left( {(AA'C'C);(ABC)} \right)} = \widehat {A'KH{\rm{ }}} = {\rm{ }}45^\circ\)

\(\begin{array}{l} AH = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2};HK = AH.sin60^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow A'H = HK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} \end{array}\)

Vậy:  \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}}}{{16}}.\)