YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Xét các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = x + y.\)   

    • A. \({P_{\min }} = \frac{{9\sqrt {11}  - 19}}{9}\)
    • B. \({P_{\min }} = \frac{{9\sqrt {11}  + 19}}{9}\)
    • C. \({P_{\min }} = \frac{{18\sqrt {11}  - 29}}{{21}}\)
    • D. \({P_{\min }} = \frac{{2\sqrt {11}  - 3}}{3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Điều kiện: \(xy < 1\)

    Ta có:

    \(\begin{array}{l}{\log _3}\frac{{1 - xy}}{{x + 2y}} = 3xy + x + 2y - 4 \Leftrightarrow 1 + {\log _3}(1 - xy) + (3 - 3xy) = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y\\ \Leftrightarrow {\log _3}(3 - 3xy) + 3 - 3xy = {\log _3}(x + 2y) + x + 2y,(1)\end{array}\)

    Xét hàm số: \(f(t) = {\log _3}t + t\) trên \((0; + \infty )\) thì \(f(t)\) luông đồng biến

    Phương trình (1) có dạng: \(f(3 - 3xy) = f(x + 2y) \Leftrightarrow 3 - 3xy = x + 2y \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}}\)

    \( \Rightarrow P = x + y = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\)

    Khảo sát hàm số \(g(y) = \frac{{3 - 2y}}{{3y + 1}} + y\) trên \((0; + \infty )\)

    Có: \(g'(y) = \frac{{9{y^2} - 6y - 10}}{{{{(3y + 1)}^2}}},g'(y) = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}\) (vì y>0).

    Bảng biến thiên của \(g(y)\) : 

    Từ bảng biến thiên ta thấy: \({P_{\min }} = g\left( {\frac{{ - 1 + \sqrt {11} }}{3}} \right) = \frac{{ - 3 + 2\sqrt {11} }}{3}.\)

    Video hướng dẫn giải chi tiết:
    ADSENSE

Mã câu hỏi: 24235

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF